此条目介绍的是数学上最常用的意义,即物件的个数。关于其他的意义,请见“
基数 ”。
在日常交流中,基数 (cardinal number,cardinal)或量数 ,是对应量词 的数 ,例如“一颗苹果”中的“一”。与序数 相对,序数是对应排列 的数,例如“第一名”中的“一”及“二年级”中的“二”。
在数学 集合论 中,基数 或势 ,即集合 中包含的元素 的“个数”(参见势的比较 ),是日常交流中基数的概念在数学上的精确化(并使之不再受限于有限情形)。有限集合 的基数,其意义与日常用语中的“基数”相同,例如
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}}
的基数是3。无限集合 的基数,其意义在于比较两个集的大小,例如整数集和有理数集的基数相同;整数集的基数比实数集的小。
历史
阿列夫数 Aleph-0,最小的无限基数
康托尔 在1874年-1884年引入最原始的集合论 (现称朴素集合论 )时,首次引入基数概念。
他最先考虑的是集合
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
和
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}}
,它们并非相同 ,但有相同的基数 。骤眼看来,这是显而易见,但究竟何谓两个集合有相同数目的元素?
康托尔的答案,是通过所谓的一一对应 ,即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到,两个集合的基数自然相同。这答案,容易理解但却是革命性的,因为用相同的方法即可比较任意集合的大小,包括无穷集合。
最先被考虑的无穷集合是自然数 集
N
=
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,...\}}
及其无限子集 。他把所有与
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
能一一对应的集为可数集 。令康托尔意外的是,原来
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
的所有无限子集都能与
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
一一对应。他把
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
的基数称为
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
,是最小的艾礼富数 。
康托尔发现,原来有理数 集合与代数数 集合也是可数的。于是乎在1874年初,他尝试证明是否所有无限集合均是可数,其后他得出了实数 集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证,而在他1891年的论文中,他以简单而巧妙的对角论证法 重新证明了这一结果。实数集的基数,记作c,代表连续统 。
接着康托尔构作一个比一个大的集合,得出一个比一个大的基数,而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论,需要一个新的语言描述,这就是康托尔发明集合论的主因。
康托尔随后提出连续统假设 :c就是第二个超穷基数
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
,即継
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
之后最小的基数。现已知这假设是不能证明的,即接受或否定它会得出两套不同但逻辑 上可行的公理化集合论 。
动机
在非正式使用中,基数 就是通常被称为计数 的东西。它们同一于开始于
0
{\displaystyle 0}
的自然数 (就是
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle 0,1,2,\ldots }
)。计数可以形式化地定义为有限 基数,而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。
更正式地,一个非零的数可以用于两个目的:描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有正好大小的集合,比如3描述了
c
{\displaystyle c}
在序列
a
,
b
,
c
,
d
,
.
.
.
{\displaystyle a,b,c,d,...}
中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}}
。但是在处理无限集合 的时候,在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面会引申出序数的概念,而大小则被这里描述的基数 所广义化。
在基数的形式定义背后的直观想法是,可以构造一个记号来指明集合的相对大小,而不需理会它有哪些种类的成员。对于有限集合这是容易的:只需简单的数算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小,得借助更加巧妙的概念。
一个集合
Y
{\displaystyle Y}
至少等大小于(或称大于等于)一个集合
X
{\displaystyle X}
,如果有从
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
的一个单射 (一一映射)。一一映射对集合
X
{\displaystyle X}
的每个元素确定了一个唯一的集合
Y
{\displaystyle Y}
的元素。通过例子就最易理解了;假设有集合
X
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle X=\{1,2,3\}}
和
Y
=
{
a
,
b
,
c
,
d
}
{\displaystyle Y=\{a,b,c,d\}}
,我们可以注意到有一个映射 :
1
→
a
{\displaystyle 1\to a}
2
→
b
{\displaystyle 2\to b}
3
→
c
{\displaystyle 3\to c}
这是一对一的,使用上述的大小概念,我们因此总结出
Y
{\displaystyle Y}
有大于等于
X
{\displaystyle X}
的势。注意元素
d
{\displaystyle d}
没有元素映射到它,但这是允许的,因为我们只要求一一映射,而不必须是一对一并且完全 的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。
我们可以把这个概念扩展到一个类似于等式的关系。两个集合
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
被称为有相同的"势",如果存在
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
之间的双射 。通过Schroeder-Bernstein定理 ,这等价于有从
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
和从
Y
{\displaystyle Y}
到
X
{\displaystyle X}
的两个一一映射。我们接着记之为
|
X
|
=
|
Y
|
{\displaystyle |X|=|Y|}
。
X
{\displaystyle X}
的基数自身经常被定义为有着
|
a
|
=
|
X
|
{\displaystyle |a|=|X|}
的最小序数
a
{\displaystyle a}
。这叫做冯·诺伊曼基数指派 ;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数 一样的势;这个陈述就是良序原理 。然而即使不给集合的势指派一个名字,讨论集合之间相对的势 还是可以的。
一个经典例子是无限旅馆悖论,也叫做希尔伯特旅馆悖论 。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满,而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2,房间2的客人转移到房间3,以此类推,腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:
1
⟷
2
{\displaystyle 1\longleftrightarrow 2}
2
⟷
3
{\displaystyle 2\longleftrightarrow 3}
3
⟷
4
{\displaystyle 3\longleftrightarrow 4}
...
n
⟷
n
+
1
{\displaystyle n\longleftrightarrow n+1}
...
在这种方式下我们可以看出集合
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{1,2,3,...\}}
和集合
{
2
,
3
,
4
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{2,3,4,...\}}
有相同的势,因为已知这两个集合之间存在双射。这便给"无限集合"提供了一个合适的定义,即是与自身某个真子集有着相同的势的任何集合;在上面的例子中
{
2
,
3
,
4
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{2,3,4,...\}}
是
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{1,2,3,...\}}
的真子集。
当我们考虑这些大对象的时候,我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事实上是不一致的;通过考虑上面的例子,我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在,它必须跟起初的无限集合有一样的势。这时候可以使用另一种称为序数 的形式概念,它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们会发现,势和序(ordinality)的概念对于无限的情况是有分歧的。
可以证明实数 的势大于刚才描述的自然数的势,透过对角论证法 可以一目了然。跟势相关的经典问题(比如连续统假设 )主要关注在某一对无限基数之间是否有别的基数。现时数学家已经在描述更大更大基数的性质。
因为基数是数学中如此常用的概念,有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势 、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。
定义
首先,给出集合
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
,我们称
X
{\displaystyle X}
的势小于等于
Y
{\displaystyle Y}
,记作
|
X
|
≤
|
Y
|
{\displaystyle |X|\leq |Y|}
,当且仅当存在由
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
的单射 ;称
X
{\displaystyle X}
的势与
Y
{\displaystyle Y}
相等,记作
|
X
|
=
|
Y
|
{\displaystyle |X|=|Y|}
, 当且仅当存在由
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
的双射 (即一一对应)。
康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理 指出如果
|
X
|
≤
|
Y
|
{\displaystyle |X|\leq |Y|}
及
|
Y
|
≤
|
X
|
{\displaystyle |Y|\leq |X|}
则
|
X
|
=
|
Y
|
{\displaystyle |X|=|Y|}
。
假设选择公理 ,所有集合都可良序 ,且对于所有集合
X
{\displaystyle X}
与
Y
{\displaystyle Y}
,有
|
X
|
≤
|
Y
|
{\displaystyle |X|\leq |Y|}
或
|
Y
|
≤
|
X
|
{\displaystyle |Y|\leq |X|}
。因此,我们可以定义序数 ,而
集合
X
{\displaystyle X}
的基数 则是与
X
{\displaystyle X}
等势的最小序数
α
{\displaystyle \alpha }
。
(若不接受选择公理,我们也可对非良序集
X
{\displaystyle X}
定义基数,就是所有与
X
{\displaystyle X}
等势的集的阶中下确界。)
有限集的基数
自然数 的一种定义是
0
=
{
}
,
1
=
{
0
}
,
2
=
{
0
,
1
}
,
3
=
{
0
,
1
,
2
}
,
…
,
N
=
{
0
,
1
,
…
,
N
−
1
}
{\displaystyle 0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots ,N=\{0,1,\ldots ,N-1\}}
。可以见到,与数
N
{\displaystyle N}
等势的集必有
N
{\displaystyle N}
个元素。如集合
{
2
,
3
,
5
}
{\displaystyle \{2,3,5\}}
的基数为
3
{\displaystyle 3}
。
以下是有限集的三个等价定义:它与某自然数等势;它只有一个等势的序数,就是它的基数;它没有等势的真子集。
无限集的基数
最小的无限集合是自然数集。
{
1
,
2
,
3
,
4
,
…
,
n
,
…
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,\ldots ,n,\ldots \}}
与
{
2
,
4
,
6
,
8
,
…
,
2
n
,
…
}
{\displaystyle \{2,4,6,8,\ldots ,2n,\ldots \}}
基数相同,因为可以让前一集合的
n
{\displaystyle n}
与后一集合的
2
n
{\displaystyle 2n}
一一对应。从这个例子可以看出,对于一个无穷集合来说,它可以和它的一个真子集 有相同的基数。
以下是无限集的四个等价定义:它不与任何自然数等势;它有超过一个等势的序数;它有至少一个真子集和它等势;存在由自然数集到它的单射。
基数算术
我们可在基数上定义若干算术 运算,这是对自然数运算的推广。
给出集合
X
{\displaystyle X}
与
Y
{\displaystyle Y}
,定义
X
+
Y
=
{
(
x
,
0
)
:
x
∈
X
}
∪
{
(
y
,
1
)
:
y
∈
Y
}
{\displaystyle X+Y=\{(x,0):x\in X\}\cup \{(y,1):y\in Y\}}
,则基数和是
|
X
|
+
|
Y
|
=
|
X
+
Y
|
{\displaystyle |X|+|Y|=|X+Y|}
。
若
X
{\displaystyle X}
与
Y
{\displaystyle Y}
不相交,则
|
X
|
+
|
Y
|
=
|
X
∪
Y
|
{\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|}
。
基数积是
|
X
|
|
Y
|
=
|
X
×
Y
|
{\displaystyle |X||Y|=|X\times Y|}
其中
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
是
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
的笛卡儿积 。
基数指数是
|
X
|
|
Y
|
=
|
X
Y
|
{\displaystyle |X|^{|Y|}=|X^{Y}|}
其中
X
Y
{\displaystyle X^{Y}}
是所有由
Y
{\displaystyle Y}
到
X
{\displaystyle X}
的函数 的集合。
在有限集时,这些运算与自然数无异。一般地,它们亦有普通算术运算的性质:
加法和乘法是可交换的 ,即
|
X
|
+
|
Y
|
=
|
Y
|
+
|
X
|
{\displaystyle |X|+|Y|=|Y|+|X|}
及
|
X
|
|
Y
|
=
|
Y
|
|
X
|
{\displaystyle |X||Y|=|Y||X|}
加法和乘法符合结合律 ,
(
|
X
|
+
|
Y
|
)
+
|
Z
|
=
|
X
|
+
(
|
Y
|
+
|
Z
|
)
{\displaystyle (|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)}
及
(
|
X
|
|
Y
|
)
|
Z
|
=
|
X
|
(
|
Y
|
|
Z
|
)
{\displaystyle (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)}
分配律 ,即
(
|
X
|
+
|
Y
|
)
|
Z
|
=
|
X
|
|
Z
|
+
|
Y
|
|
Z
|
{\displaystyle (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|}
。
|
X
|
|
Y
|
+
|
Z
|
=
|
X
|
|
Y
|
|
X
|
|
Z
|
{\displaystyle |X|^{|Y|+|Z|}=|X|^{|Y|}|X|^{|Z|}}
|
X
|
|
Y
|
|
Z
|
=
(
|
X
|
|
Y
|
)
|
Z
|
{\displaystyle |X|^{|Y||Z|}=(|X|^{|Y|})^{|Z|}}
(
|
X
|
|
Y
|
)
|
Z
|
=
|
X
|
|
Z
|
|
Y
|
|
Z
|
{\displaystyle (|X||Y|)^{|Z|}=|X|^{|Z|}|Y|^{|Z|}}
无穷集合的加法及乘法(假设选择公理)非常简单。若
X
{\displaystyle X}
与
Y
{\displaystyle Y}
皆非空而其中之一为无限集,则
|
X
|
+
|
Y
|
=
|
X
|
|
Y
|
=
max
{
|
X
|
,
|
Y
|
}
{\displaystyle |X|+|Y|=|X||Y|=\max\{|X|,|Y|\}}
注意
2
|
X
|
{\displaystyle 2^{|X|}}
是
X
{\displaystyle X}
的幂集 之基数。由对角论证法 可知
2
|
X
|
>
|
X
|
{\displaystyle 2^{|X|}>|X|}
,是以并不存在最大的基数。事实上,基数的类 是真类 。
还有些关于指数的性质:
|
X
|
0
=
1
{\displaystyle |X|^{0}=1}
(特别地,
0
0
=
1
{\displaystyle 0^{0}=1}
)。
0
|
Y
|
=
0
{\displaystyle 0^{|Y|}=0}
,若
Y
{\displaystyle Y}
非空。
1
|
Y
|
=
1
{\displaystyle 1^{|Y|}=1}
。
若
|
X
|
≤
|
Y
|
{\displaystyle |X|\leq |Y|}
,则
|
X
|
|
Z
|
≤
|
Y
|
|
Z
|
{\displaystyle |X|^{|Z|}\leq |Y|^{|Z|}}
。
若
|
X
|
{\displaystyle |X|}
和
|
Y
|
{\displaystyle |Y|}
俱有限且大于1,而
Z
{\displaystyle Z}
是无穷集,则
|
X
|
|
Z
|
=
|
Y
|
|
Z
|
{\displaystyle |X|^{|Z|}=|Y|^{|Z|}}
。
若X是无穷而
Y
{\displaystyle Y}
是有限及非空,则
|
X
|
|
Y
|
=
|
X
|
{\displaystyle |X|^{|Y|}=|X|}
。
基数序列及连续统假设
对每一个基数,存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是
ℵ
0
{\displaystyle \aleph _{0}}
,康托尔称下一个为
ℵ
1
{\displaystyle \aleph _{1}}
,相类似的,还定义了如下一个序列 :
ℵ
0
,
ℵ
1
,
…
,
ℵ
n
…
{\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\ldots ,\aleph _{n}\ldots }
。
设
c
=
2
ℵ
0
{\displaystyle c=2^{\aleph _{0}}}
。连续统假设猜想,就是
c
=
ℵ
1
{\displaystyle c=\aleph _{1}}
。
连续统假设是与一般集论公理(即Zermelo-Fraenkel公理系统加上选择公理)是独立的。
更一般的假设,即
ℵ
n
+
1
=
2
ℵ
n
{\displaystyle \aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}}
。
广义连续统假设 ,就是对所有无穷基数
ℵ
{\displaystyle \aleph }
,都不存在介乎
ℵ
{\displaystyle \aleph }
与
2
ℵ
{\displaystyle 2^{\aleph }}
之间的基数。
参考文献
Hahn, Hans, Infinity , Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics . New York: Simon and Schuster, 1956.
Halmos, Paul , Naive set theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
外部链接