超复数
實數域上的單位代數的元素 / 维基百科,自由的 encyclopedia
超复数是复数在抽象代数中的引申,通常是实数域上某个有限维的单位代数的元素。19世纪后期对超复数的研究,成为现代群表示论的根基。 此种代数举例如下:
历史
各种各样的数 |
基本 |
延伸 |
其他 |
19世纪,实数系和复数系之外的若干数系,如四元数系、双复数系、分裂四元数系、复四元数系、八元数系,成为数学文献中完善的概念。超复数是涵盖该些数系的概念,吸引学者研究和分类。
分类工作始于本杰明·皮尔士的1872年文章〈线性结合代数〉[1],并由其子查尔斯·桑德斯·皮尔士接续。重要的是,二人认定幂零元和幂等元皆对分类有用。凯莱-迪克森构造利用对合,从实数系开始,生成复数系、四元数系、八元数系。赫维兹和弗罗贝尼乌斯证明超复数的若干限制:赫维兹定理断言有限维的实复合代数(英语:composition algebra)仅得实数系、复数系、四元数系、八元数系,而弗罗贝尼乌斯定理(英语:Frobenius theorem (real division algebras))断言,实结合除代数(英语:associative division algebra)仅得、、。1958年,弗兰克·亚当斯(英语:Frank Adams)考虑H-空间(有具单位元的连续乘法的拓扑空间)的霍普夫不变量,发表推广的结果,该结果仍将维数限制在1、2、4、8。[2]
矩阵代数对研究超复数系帮助很大。首先,矩阵提供新的超复数系,例如实矩阵组成的代数(同构于分裂四元数)。很快,矩阵方法解明其他超复数系,因为该些超复数系也可以用矩阵及其运算表示。1907年,约瑟夫·韦德伯恩证明,满足结合律的超复数系可表示为方阵代数或其直积。[3][注 1]此后,结合代数成为较常用来称呼超复数系的术语,例如韦德伯恩在爱丁堡大学的学位论文标题便用了此术语。然而,也有不可结合的数系,例如八元数系和双曲四元数系(英语:Hyperbolic quaternion),也算是另一类的超复数。
汤马士·霍金斯(Thomas Hawkins)[4]解释,超复数是研究李群和群表示论的踏脚石。例如,1929年,埃米·诺特发表〈超复量与表示论〉[5]。1973年,以赛亚·坎托尔(英语:Isaiah Kantor)和索洛多夫尼科夫(A. S. Solodovnikov)出版关于超复数的德文教科书[6],该书于1989年翻译成英文。[7]
凯伦·帕歇尔(英语:Karen Parshall)详细介绍全盛期的超复数研究[8],包括数学家特奥多尔·莫林(英语:Theodor Molien)[9]和爱德华·斯图迪(英语:Eduard Study)[10]的贡献。关于超复数至近世代数的过渡,巴尔特·伦德特·范德瓦尔登(英语:Bartel van der Waerden)在《代数史》[11]有三十页专论超复数。
定义
Kantor & Solodovnikov (1989)定义超复数为实域上某个有限维代数的元素,而该代数要有单位,但无需可结合或可交换。[12] 该些元素可以写成一组基的线性组合,其中系数为实数,而基的大小称为该代数的维数。若可行,一般将基正规化,即选取使。下节先考虑二维超复数(即)。
二维实代数
关于二维实代数有以下定理:[6]:14,15[13][14]在同构意义下,实域上的二维单位代数恰有3个:复数系、双曲复数系、二元数系。于是,实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。
下段简述定理的证明。
因为给定的代数是二维,可选一组基。因为代数对乘法封闭,的平方仍是代数的元素,故可写成线性组合:
其中为实系数。
运用常见的配方法,两边减走并加上,得:
所以,其中是实数。 取决于此实数值,分别有三种情况:
- 若,则上式变成。于是,可视为二元数的基中的幂零元。
- 若,则有。双曲复数的标准基满足,故若除以正实数(其平方与平方相等),得到的结果即可视为。
- 若,则有。平常复数的标准基满足,故若除以正实数(其平方与平方互为相反数),得到的结果即可视为。
从而定理成立。
复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域。若代数具有1的非实平方根(如双曲复数),则也有幂等元和零因子(因为),故此种代数必不为除代数(粤语:除代數)。然而,此种性质有时很有用,例如双曲复数适用于描述狭义相对论的劳仑兹变换。
《数学杂志》在2004年的某版中,称二维实代数为“广义复数”(generalized complex numbers)。[15]四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。[16]
高维例子(有多于一条非实轴)
克利福德代数
克利福德代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上,其等价于可以定义对称标量积,正交化该二次型,以得到基,满足:
由乘法封闭性,该向量空间的基相乘得到个克利福德数(英语:Multivector),即,皆为克利福德代数的元素,且组成该代数的基(不同于原向量空间的基),可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基不同,该代数的其他基元素不一定反交换,而是取决于将两个因子对调时,会交换的简单因子(即)有奇数对抑或偶数对。所以,,但。
若不允许(即二次型非退化(英语:Degenerate bilinear form)),则余下的克利福德代数可记为,表示其为个满足的简单基元和个满足的简单基元生成的代数,而括号内的指明此为实域上的克利福德代数,即元素的系数为实数。
该些代数称为几何代数(英语:Geometric algebra),组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋,因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。
此族代数包括:复数系、双曲复数系,四元数系、分裂复四元数系(英语:split-biquaternion)、分裂四元数系(二维空间生成的自然代数)、(三维空间生成的自然代数,也是包立矩阵生成的代数)、时空代数(英语:Spacetime algebra)。
代数可以视为代数的偶子代数,从而可用作描述中的旋转。因此,复数密切关系二维空间的旋转,四元数密切关系三维空间的旋转,双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转(洛仑兹变换),余可类推。
虽然八维或以上时,凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合,任意维数的克利福德代数皆可结合。
1995年,伊恩·波蒂厄斯(英语:Ian R. Porteous)有关克利福德代数的书中,论及“子代数的辨认”。其命题11.4总结超复数的情况:[17]
- 设为实结合代数,且具有单位元。则
超出该些古典代数的延伸,见克利福德代数的分类(英语:Classification of Clifford algebras)。
凯莱-迪克森构造
撇除实数系、复数系、四元数系不计,其他克利福德代数皆含有平方为的非实数,故不能为除代数。凯莱-迪克森构造是另一个扩展复数系的方法,其给出维数为的数系,该些数系的基满足:所有非实的基元两两反交换,且。在8维或以上时(即),该些代数不可结合,而在16维或以上时(即),该些代数有零因子。
此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升,其代数结构的对称性逐一失去:四元数乘法不可交换,八元数乘法不可结合,而十六元数的范数不具积性。
凯莱-迪克森构造的某些步骤中,若插入额外的符号,则得到复合代数(英语:composition algebra)中的“分裂代数”,而非除代数:
- 分裂复数系:有基,满足,
- 分裂四元数系:有基,满足,
- 分裂八元数系(英语:split-octonion):有基,满足,。
与复数系不同,分裂复数系并非代数闭,甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似,分裂四元数系亦不可交换,但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合,也含有幂零元。
张量积
两个代数的张量积仍为代数,如此可构造更多超复数系。
作为例子,取2维实代数(复数系)、4维实代数(四元数系)、8维实代数(八元数系),分别与作张量积,依次得4维的双复数系、8维的复四元数系、16维的复八元数系。
其他例子
- 多重复数:其组成复域上的维向量空间。
- 复合代数(英语:composition algebra):赋有二次型的代数,其中二次型与乘法可互换次序。
参见
- 十六元数
- 托马斯·柯克曼(英语:Thomas Kirkman)
- 格奥尔格·舍费尔(英语:Georg Scheffers)
- 理查德·布饶尔
- 超复分析(英语:Hypercomplex analysis)
注
参考资料
- Peirce, Benjamin, Linear Associative Algebra, American Journal of Mathematics, 1881, 4 (1): 221–6, JSTOR 2369153 (英语)
- Adams, J. F., On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One (PDF), Annals of Mathematics, July 1960, 72 (1): 20–104 [2021-07-28], JSTOR 1970147, doi:10.2307/1970147, (原始内容 (PDF)存档于2016-01-25) (英语)
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- Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S., Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1978 (德语)
- Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029 (英语)
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- Molien, Theodor, Ueber Systeme höherer complexer Zahlen, Mathematische Annalen, 1893, 41 (1): 83–156 [2021-07-28], S2CID 122333076, doi:10.1007/BF01443450, (原始内容存档于2021-08-03) (德语)
- Study, Eduard, Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen, Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften I A (4): 147–183, 1898 (德语)
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- Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029 (英语)
- Yaglom, Isaak, Complex Numbers in Geometry: 10–14, 1968 (英语)
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