无量纲量 - Wikiwand

在量纲分析中，无量纲量^[1]（dimensionless quantity）又称无因次量、量纲为一的量^[2]^[3]（quantity of dimension one）^{[注 1]}指的是没有量纲的量。它是个单纯的数字，量纲为1^[4]。

无量纲量在数学、物理学、工程学、经济学以及日常生活中（如数数）被广泛使用。一些广为人知的无量纲量包括圆周率（π）、欧拉常数（e）和黄金分割率（φ）等。与之相对的是有量纲量，拥有诸如长度、面积、时间等单位。

无量纲量常写作两个有量纲量之积或比，但其最终的纲量互相消除后会得出无量纲量。比如，应变是量度形变的量，定义为长度差与原先长度之比。但由于两者的量纲均为L（长度），因此相除后得出的量是没有量纲的。

属性

虽然无量纲量本身没有量纲，但是它也有时被加以无量纲的单位。在分子和分母使用同样的单位（kg/kg或mol/mol），有时可以帮助表达所测量的数值（如质量百分浓度或摩尔分数等）。某些量还可以表示为不同的单位之比，但这两个单位的量纲相同（如光年除以米）。这种做法可以用于计算图表中的斜率，或者进行单位转换。这样的写法并不意味着存在量纲，而只不过是符号表达上的惯例。其他常用的无量纲量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10⁻⁶，百万分比；ppb=10⁻⁹，十亿分比；ppt=10⁻¹²，兆分比（万亿分比）以及角单位（度、弧度、百分度）等等。

两个具有相同量纲之比是没有量纲的，而且无论用什么单位计算，该量还是不变的。例如，如果物体A对物体B施大小为F的作用力，那B也会向A施大小为f的力。两个力的比率F/f永远等于1（见牛顿第三定律），而不取决于测量F和f所用的单位。这是因为物理中一个重要的假设：物理定律是独立于人们选用的单位制的。如果以上的F/f不经常等于1，而在我们从国际单位制转用厘米-克-秒制时改变了的话，这就意味着牛顿第三定律的真伪要看我们选取哪一种单位制，而这就与假设矛盾了。这一假设是白金汉π定理的基础，其表述为：所有物理定律均能以数个无量纲量的数学组合（加、减、乘、除等等）写成恒等式。如果无量纲量组合后的值在替换所用单位制后改变了的话，那么白金汉π定理就不成立了。

白金汉π定理

白金汉π定理的另一项推论为，如果n个变数之间有某种函数关系，而这些变数中有k个独立的量纲，则可以产生p = n − k个独立的无量纲量。

例子

某磁力搅拌器的电功率是被搅拌液体的密度和黏度、搅拌器的直径及搅拌速度的函数。因此这里共有n = 5个变量

这n = 5个变量共由以下k = 3个量纲组成：

长度：L (m)
时间：T (s)
质量：M (kg)

根据该定理，通过组合这n = 5个变量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2个独立的无量纲量。此例中的这两个无量纲量分别为：

雷诺数（描述流体流动的无量纲量）
功率数（描述搅拌器，同时包含流体密度的无量纲量）

例子

在10个苹果中，有1个是坏了的。总苹果数中坏苹果的比例为1个苹果/10个苹果= 0.1 = 10%，这是个无量纲量。
角：角的定义为，以圆心为顶点划出的弧的长度除以某另一长度。这个比率由长度除以长度所得，因此是个无量纲量。当所用的（无量纲）单位为弧度时，那个“另一长度”就是圆的半径。当单位为角度时，“另一长度”就是圆周长的360分之1。
圆周率是个无量纲量，定义为圆周长与直径之比。该数值无论在用什么单位量度这些长度时（厘米、英里、光年等等）都会是相同的，只要周长和直径以同样的单位量度。

无量纲量列表

下表中所有的量均为无量纲量：

更多信息

...

名称	标准符号	定义	应用范畴
阿贝数	V	$V={\frac {n_{d}-1}{n_{F}-n_{C}}}$	光学（光的色散）
活度系数	γ	$\gamma ={\frac {a}{x}}$	化学（活跃分子或原子占总数之比）
反照率	$\alpha$	${\alpha }=(1-D){\bar {\alpha }}(\theta _{i})+D{\bar {\bar {\alpha }}}$	气候学、天文学
劳仑兹因子	$\gamma$	$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$	相对论
阿基米德数	Ar	$Ar={\frac {gL^{3}\rho _{\ell }(\rho -\rho _{\ell })}{\mu ^{2}}}$	密度差造成的流体运动
阿伦尼乌斯数	$\alpha$		活化能与热能之比^[5]
相对原子质量	M		化学
伯格诺德数	Ba	$Ba={\frac {\rho d^{2}\lambda ^{1/2}\gamma }{\mu }}$	固体块的流动（如米粒或沙子）^[6]
比赞数（热力学）	Be	$Be={\frac {{\dot {S}}'_{gen,\Delta T}}{{\dot {S}}'_{gen,\Delta T}+{\dot {S}}'_{gen,\Delta p}}}$	热传导不可逆性与由于热传导和流体阻力的总不可逆性之比^[7]
比赞数（流体力学）	Be	$Be={\frac {\Delta P.L^{2}}{\mu \alpha }}$	沿着通道的压力差^[8]
宾汉数	Bm	$Bm={\frac {\tau _{y}L}{\mu V}}$	屈服应力与黏滞应力之比^[5]
毕奥数	Bi	$Bi={\frac {hL_{C}}{\ k_{b}}}$	固体的表面传导率与体积传导率之比
布莱克数（英语：Blake number）	Bl或B	$B={\frac {V\rho }{\mu (1-\epsilon )D}}$	流体穿过多孔介质时惯性相对黏滞力的重要性
博登斯坦数	Bo	$Bo=Re\cdot Sc=vL/{\mathcal {D}}$	停留时间的分布
邦德数	Bo	$Bo={\frac {\rho aL^{2}}{\gamma }}$	由浮力推动的毛细作用^[9]
布林克曼数	Br	$Br={\frac {\mu U^{2}}{\kappa (T_{w}-T_{0})}}$	从容器壁到黏性流体的热传导
Brownell-Katz数			毛细管数和邦德数的组合
毛细管数	Ca		受表面张力影响的流体流动
钱德拉塞卡数（英语：Chandrasekhar number）	$\ Q$	${Q}\ =\ {\frac {{B_{0}}^{2}d^{2}}{\mu _{0}\rho \nu \lambda }}$	磁对流，用以表达洛伦兹力与黏度之比
静摩擦系数	$\mu _{s}$		物体间的静摩擦
动摩擦系数	$\mu _{k}$		物体互相滑动时的摩擦
柯尔伯恩j因数			热传导的无量纲系数
库朗数	$\nu$		双曲型偏微分方程之解^[10]
达姆科勒数	Da	$Da=k\tau$	反应时间与共振时间之比
阻尼比	$\zeta$	$\zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}$	系统中阻尼的程度
达西阻力系数	$C_{f}$ 或 $f$		流体流动
狄恩数	D	${\mathit {D}}={\frac {\rho V\!d}{\mu }}\left({\frac {d/2}{R}}\right)^{1/2}$	弯曲管道中的流体涡
底波拉数	De	$\mathrm {De} ={\frac {t_{\mathrm {c} }}{t_{\mathrm {p} }}}$	粘弹性流体的流动学
分贝	dB		两个强度之比，通常用于声音
阻力系数	$C_{d}$		流动阻力
Dukhin数	Du		异质系统中表面电导率与体积电导率之比
欧拉常数	e		数学
埃克特数	Ec		热对流传导
埃克曼数	Ek		地球物理学（黏质阻力）
弹性	E	$E_{x,y}=\left\|{\frac {\Delta y/y}{\Delta x/x}}\right\|=\left\|{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot {\frac {x}{y}}\right\|=\left\|{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {x}{y}}\right\|$	经济学，常用于量度供给和需求如何受价格变化的影响
厄特沃什数	Eo		判断汽泡或液滴形状
埃里克森数	Er		液晶流动特性
欧拉数 (物理学)	Eu		流体动力学（压力与惯性力之比）
过量温度系数	Θ_r	$\Theta _{r}={\frac {T-T_{e}}{U_{e}^{2}/(2c_{p})}}$	热力学与流体动力学^[11]
范宁摩擦系数（英语：Fanning friction factor）	f		管道中的流体流动^[12]
费根鲍姆常数	$\alpha ,\delta$		混沌理论（周期倍增）^[13]
精细结构常数	$\alpha$	$\alpha ={\frac {e^{2}}{2\varepsilon _{0}hc}}$	量子电动力学
焦比	$f$		光学、摄影
Foppl-von Karman数			薄壳失稳
傅里叶数	Fo		热传导
菲涅耳数	F	$F\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {a^{2}}{L\lambda }}$	狭缝衍射^[14]
福禄数	Fr	$Fr={\frac {V}{\sqrt {g\ell }}}$	波和表面行为
增益			电子学（信号输出与信号输入之比）
速比			单车传动^[15]
伽利莱数	Ga	$\mathrm {Ga} =Re^{2}Ri={\frac {g\,L^{3}}{\nu ^{2}}}$	引力造成的黏质流动
黄金分割比	$\varphi$		数学、美学
格雷茨数	Gz		热流
格拉斯霍夫数	Gr		自由对流
重力耦合常数	$\alpha _{G}$	$\alpha _{G}={\frac {Gm_{e}^{2}}{\hbar c}}$	重力
八田数	Ha	$Ha={{\sqrt {{\frac {2}{{m}+1}}k_{m,n}{C_{A,i}}^{m-1}C_{B,bulk}^{n}{D}_{A}}} \over {{k}_{L}}}$	化学反应造成的吸附增强
哈根数	Hg	$\mathrm {Hg} =-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}{\frac {L^{3}}{\nu ^{2}}}$	强制对流
水力梯度	i		地下水流动
雅各布数	Ja	$Ja={\frac {c_{p}(T_{s}-T_{sat})}{h_{fg}}}$	液汽相变时所吸收的显能与潜能之比^[16]
Karlovitz数			湍流燃烧
Kc数	$K_{C}$	$K_{c}={\frac {VT}{L}}$	震荡流场中物体的阻力与惯性之比
克努森数	Kn		分子平均自由程长度与某代表性长度之比
尿素清除指数	Kt/V		医学
Kutateladze数	K		两相逆流
拉普拉斯数	La		混溶流体中的自由对流
路易斯数	Le		质量扩散率与热扩散率之比
升力系数	$C_{L}$		在某攻角下翼型的升力
Lockhart-Martinelli参数	$\chi$		湿气的流动 ^[17]
乐甫数			地球的硬性
伦德奎斯特数	$S$		ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
马赫数	M	$\ M={\frac {V}{a}}$	气体动力学
磁雷诺数	$R_{m}$		磁流体力学
曼宁糙率系数	n		开放管道流体流动（由引力推动）^[18]
马兰戈尼数	Mg		由热表面张力偏差引起的马兰戈尼流
莫顿数	Mo		判断汽泡或液滴形状
彭巴数	$K_{M}$		溶液冷冻时的热传导与扩散^[19]
努塞尔特数	Nu	$Nu={\frac {hd}{k}}$	强制对流下的热传导
奥内佐格数	Oh		液体雾化，马兰戈尼流
佩克莱特数	Pe	$Pe={\frac {du\rho c_{p}}{k}}=(Re)(Pr)$	平流-扩散问题，总动量传递和分子热传递之间的关系
剥离数			微观结构与底物的黏附作用^[20]
导流系数	K		在带电离子束中空间电荷的强度
圆周率	$\pi$		数学（圆周长与直径之比）
泊松比	$\nu$		弹性（横向与纵向负荷）
多孔性	$\phi$		地质学
功率因数			电子学（有功功率与视在功率之比）
功率数	$N_{p}$		搅拌器的功率消耗
普兰特数	$Pr$	$Pr={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {c_{p}\mu }{k}}$	黏性扩散率与热扩散率之比
压力系数	$C_{P}$		翼型上某个点的压力
品质因子	$Q$		描述振子的阻尼
弧度	$\theta _{rad}$	$\theta _{rad}={\frac {s}{r}}$	量度平面角， $1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}$
瑞利数	$Ra$	$\mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} ={\frac {g\beta \Delta TL^{3}}{\nu \alpha }}$	自由对流中的浮力和黏滞力
折射率	n		电磁学、光学
雷诺数	$Re$	$Re={\frac {vL\rho }{\mu }}$	流体的惯性力与黏滞力之比^[5]
比重	RD		比重计，物质间的比较
理查逊数	Ri		浮力对流动稳定性的影响^[21]
洛氏硬度			硬度
滚动阻力系数	C_rr	$C_{rr}={\frac {N_{f}}{F}}$	车辆动力学
罗斯贝数	$Ro$	$Ro={\frac {U}{LF}}$	地球物理学中的惯性力，描述科里奥利力的影响程度
劳斯数	Z或P	$\mathrm {P} ={\frac {w_{s}}{\beta \kappa u_{*}}}$	沉积物流移
施密特数	Sc	${\mathit {Sc}}={\frac {\nu }{D}}={\frac {\mu }{\rho D}}$	流体动力学（质量转移与扩散）^[22]
形状因数	H		边界层流动中排移厚度与动量厚度之比
舍伍德数	Sh	$\mathrm {Sh} ={\frac {h_{D}L}{D_{fluid}}}$	强制对流中的质量转移
希尔兹参数	τ_∗或θ		流体运动造成的沉积物流移的临界
索默菲德数			边层润滑^[23]
斯坦顿数	St	$St={\frac {h}{Gc_{p}}}={\frac {h}{\rho uc_{p}}}={\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Re} \,\mathrm {Pr} }}$	强制对流中的热传递
斯蒂芬数	Ste	$Ste={\frac {C_{p}\Delta T}{L}}$	相变时的热传递
斯托克斯数	$S_{tk}$ 或 $S_{k}$	$Stk={\frac {\tau \,U_{o}}{d_{c}}}$	流体流中的粒子动力学
应变	$\epsilon$	$\epsilon ={\cfrac {\partial {F}}{\partial {X}}}-1$	材料科学、弹性
斯特劳哈尔数	St或Sr	$St={fL \over V}$	持续并脉动的流体流动^[24]
泰勒数	Ta	$Ta={\frac {4\Omega ^{2}R^{4}}{\nu ^{2}}}$	旋转的流体流动
Ursell数	U	$U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}$	在浅流体层上表面引力波的非线性度
Vadasz数	Va	$Va={\frac {\phi Pr}{Da}}$	在多孔介质中流体流动时，该数影响多孔性 $\phi$ 、普兰特数以及达西阻力系数
范特霍夫因子	i	$i=1+\alpha (n-1)$	化学定量分析（K_f及K_b）
Wallis参数	J^*	$\alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}$	多相流体流动时的表现速
韦伯数	We	$We={\frac {\rho v^{2}l}{\sigma }}$	表面极为弯曲的多相流体流动
魏森贝格数	Wi	$Wi={\dot {\gamma }}\lambda$	粘弹性流体流动^[25]
沃默斯利数	$\alpha$	$\alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}$	持续并脉动的流体流动^[26]

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无量纲的物理常数

一些基本物理常数，如真空中的光速、万有引力常数、普朗克常数和波兹曼常数等等，在适当挑选时间、长度、质量、电荷及温度等单位后，可以归一（数值为1）。这种单位制被称为自然单位制。不过不可能在每一个单位制中都把所有的物理常数归一，剩余的量必须以实验判定。这些剩余的量包括：

α：精细结构常数，电磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137；
μ或β：质子与电子的不变质量之比，可更广义地指所有基本粒子相对电子的不变质量之比，μ ≈ 1836；
α_s：强相互作用的耦合常数；
α_G：重力的耦合常数，α_G ≈ 1.75×10⁻⁴⁵。

注释

[注 1]
其他称呼另有：无维量、无维度量、无维数量、无次元量等

参见

参考文献

[1]
存档副本. [2022-04-28]. （原始内容存档于2022-04-28）.
[2]
https://www.termonline.cn/word/6875/1#
[3]
存档副本. [2022-04-28]. （原始内容存档于2022-04-28）.
[4]
1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22]. （原始内容存档于2012-10-04）.
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Paoletti S., Rispoli F., Sciubba E. Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager. ASME AES. 1989, 10 (2): 21–9.
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Bhattacharjee S., Grosshandler W.L. The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment. ASME MTD. 1988, 96: 711–6.
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Schetz, Joseph A. Boundary Layer Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. 1993: 132–134. ISBN 0-13-086885-X.
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Lockhart–Martinelli parameter Archive-It的存档，存档日期2008-12-17
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Manning coefficientPDF（109 KB）
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Katz J. I. When hot water freezes before cold. Am. J. Phys. 2009, 77: 27–29. Bibcode:2009AmJPh..77...27K. arXiv:physics/0604224 . doi:10.1119/1.2996187. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Mpemba number
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[22]
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[23]
Sommerfeld number. [2013-01-31]. （原始内容存档于2016-03-16）.
[24]
Strouhal number 互联网档案馆的存档，存档日期2009-03-25.
[25]
Weissenberg number 互联网档案馆的存档，存档日期2006-11-01.
[26]
Womersley number 互联网档案馆的存档，存档日期2009-03-25.

外部链接

John Baez, "How Many Fundamental Constants Are There? （页面存档备份，存于互联网档案馆）"
Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Naval Research Laboratory. p. 23 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 24 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 25 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."

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属性

虽然无量纲量本身没有量纲，但是它也有时被加以无量纲的单位。在分子和分母使用同样的单位（kg/kg或mol/mol），有时可以帮助表达所测量的数值（如质量百分浓度或摩尔分数等）。某些量还可以表示为不同的单位之比，但这两个单位的量纲相同（如光年除以米）。这种做法可以用于计算图表中的斜率，或者进行单位转换。这样的写法并不意味着存在量纲，而只不过是符号表达上的惯例。其他常用的无量纲量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10⁻⁶，百万分比；ppb=10⁻⁹，十亿分比；ppt=10⁻¹²，兆分比（万亿分比）以及角单位（度、弧度、百分度）等等。

两个具有相同量纲之比是没有量纲的，而且无论用什么单位计算，该量还是不变的。例如，如果物体A对物体B施大小为F的作用力，那B也会向A施大小为f的力。两个力的比率F/f永远等于1（见牛顿第三定律），而不取决于测量F和f所用的单位。这是因为物理中一个重要的假设：物理定律是独立于人们选用的单位制的。如果以上的F/f不经常等于1，而在我们从国际单位制转用厘米-克-秒制时改变了的话，这就意味着牛顿第三定律的真伪要看我们选取哪一种单位制，而这就与假设矛盾了。这一假设是白金汉π定理的基础，其表述为：所有物理定律均能以数个无量纲量的数学组合（加、减、乘、除等等）写成恒等式。如果无量纲量组合后的值在替换所用单位制后改变了的话，那么白金汉π定理就不成立了。