费根鲍姆常数

费根鲍姆常数是分岔理论中重要两个的数学常数，这两个常数因数学家费根鲍姆而得名。

有（半）自相似性质的曼德博集合放大动画展示其局部缩小的比率接近第一费根鲍姆常数（这个动画只展示了中心从(-1,0)至(-1.31,0)，范围0.5×0.5至0.12×0.12的图像）

第一常数

第一费根鲍姆常数（英语：First Feigenbaum constant）是倍周期分叉（英语：Period-doubling bifurcation）中相邻分叉点间隔的极限比率，用δ表示：

${\displaystyle \delta =4.6692016091029906718532038..}$。（OEIS数列A006890）

单峰映象中，图中左侧开始的分叉点之间的水平距离之比的极限为第一费根鲍姆常数，竖直方向上特定的分叉点之间距离之比的极限是第二费根鲍姆常数

第二常数

第二费根鲍姆常数（英语：Second Feigenbaum constant），又叫费根鲍姆减少系数（Feigenbaum reduction parameter），用α表示：

${\displaystyle \alpha =2.502907875095892822283902873..}$。（OEIS数列A006891）

历史

1975年，费根鲍姆用HP-65计算器计算后得出，这种周期倍增分岔（period-doubling bifurcations）发生时的参数之间的差率是一个常数，他为此提供了数学证明。他进一步揭示了同样的现象、同样的常数适用于广泛的数学函数领域，这个普适的结论使数学家们能够在对表像不可捉摸的混沌系统的解密道路上迈出了第一步。这个“极限率”（ratio of convergence）现在通称为费根鲍姆常数。1978年他发表了关于映射的研究的重要论文Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations 《一个非线性变换类型的定量普适性》，其中特别谈到了对于混沌理论有直接意义的Logistic映射。

性质

这两个常数所属的数集至今仍不明确，可以猜测这两个都是超越数，但实际上现在连这两个数是否为无理数的证明都没有。

乌克兰数学家米哈伊尔·柳比奇（英语：Mikhail Lyubich）于90年代给出了费根鲍姆常数的普适性证明。^[1]

1 sources

参见

1. Lyubich, Mikhail. Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor’s Hairiness Conjecture. Annals of Mathematics. 1999, 149: 319–420.

• 埃里克·韦斯坦因. Feigenbaum Constant. MathWorld.
• Briggs, Keith. A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants (PDF). Mathematics of Computation (American Mathematical Society). July 1991, 57 (195): 435–439 [2012-09-28]. Bibcode:1991MaCom..57..435B. doi:10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6. （原始内容存档 (PDF)于2021-03-02）.
• Briggs, Keith. Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (PDF) (PhD论文). University of Melbourne. 1997 [2012-09-28]. （原始内容存档 (PDF)于2020-11-12）.