色散關係

在物理科學和電機工程學中，色散關係描述波在介質中傳播的色散現象的性質。色散關係將波的波長或波數與其頻率建立了聯繫。由這組關係，波的相速度和群速度有了方便的確定介質中折射率的表達式。克拉莫-克若尼關係式可以描述波的傳播、衰減的頻率依賴性，這關係比與幾何相關和與材料相關的色散關係更具一般性。

光在稜鏡的折射是由於色散。

色散的原因可能是幾何邊界條件（波導、淺水）或是波與傳輸介質間的相互作用。基本粒子（被認為是物質波）即使在沒有集合約束和其他介質存在下也會有非平凡的色散關係。

在存在色散的情況下，波速不再唯一定義，從而產生了相速度和群速度的區別。

色散

主條目：光學色散、水波色散和聲學色散

當不同波長的平面波表現出不同的傳播速度時，色散會發生，如此造成混合各種波長的波包漸漸地在空間中擴展開來。平面波的速率v為波長${\displaystyle \lambda }$的函數：

${\displaystyle v=v(\lambda )\,}$。

波速、波長、頻率f之間具有恆等式：

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda )\,}$。

函數f(λ)指出了該介質中的色散關係。色散關係更常用角頻率${\displaystyle \omega =2\pi f}$與波數${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$來表示。上述式子可改寫為

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\ k\,}$。

在此ω成為k的函數。使用ω(k)來描述色散關係已經成為一種標準寫法，因為相速度 ω/k 與群速度 ∂ω/∂k 可以輕鬆地從這樣寫法的色散關係中求得。

因此所關注的平面波可寫為如下數學式：

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)}}$，

其中

A是波的振幅，

A₀ = A(0,0)，

x是波傳遞方向上的任一特定位置，以及

t是描述波的任一特定時間。

真空中的平面波

真空中的平面波是波傳遞最簡單的例子：無幾何上的限制，無傳導介質的相互作用。

電磁波

對真空中的電磁波而言，角頻率與波數呈正比：

${\displaystyle \omega =ck\,}$。

這是「線性」的色散關係。在此情形下，相速度與群速度乃是相同的：

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c}$；

兩者皆為c，真空中的光速，為與頻率無關的常數。

德布羅意色散關係

參見：四維動量

參見：狹義相對論中的質量

自由空間中，日常生活常見物體其動能與動量之間的色散關係圖。

粒子的總能量、動量與質量透過如下相對論關係連結：

${\displaystyle E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}\,}$  ^[1]

其中${\displaystyle m}$是靜質量。

當靜質量m為零時，比如光子的例子：

${\displaystyle E=pc\,}$。

又靜質量不為零的粒子，當其接近光速時，pc項遠大於mc²項，因此關係式可趨近於E = pc。其在非相對論極限，也就是速度遠小於光速c的情形，可趨近於如下關係式：

${\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}}$

此情形下，${\displaystyle mc^{2}}$是常數，而${\displaystyle p^{2}/2m}$是常見的動能，可以動量${\displaystyle p=mv}$來寫出關係式。

從近光速的例子過渡到低速度極限，可看到E與p的關係是從p轉成p²，在垂直軸跟水平軸皆取對數log的色散關係圖中可看出斜率的改變。

基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有物質波的波動表現。根據描述物質波的「德布羅意關係」，能量E與角頻率ω之間以及動量p與波數k之間皆為正比關係，比值為約化普朗克常數ħ：

${\displaystyle E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k}$。

相應地，角頻率與波數之間也可透過色散關係連結。在非相對論極限（低速度極限的牛頓力學）條件下，利用能量（動能）與動量的關係式：

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

此處省去常數mc²的效應。等式左右分別代入德布羅意關係，可得色散關係：

${\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$。

動畫：電子的相速度與群速度
此動畫描繪了三顆（慢速度）自由電子以德布羅意相速度與群速度行經了寬度為0.4Å的區域。每單位質量的動量，稱為固有速度。中間電子的固有速度為光速c，其群速度則為0.707 c；上方電子則有中間電子的兩倍動量，下方電子則有中間電子的一半動量。注意到：當動量增加時，相速度下降到c，而群速度增加到c，而波包與相位峰值兩者以接近c的速度一同移動；在此同時，波長的下降則無下限值。實驗室中，這類高能電子的橫向與縱向的同調寬度（波包大小）可比此處粒子大上好幾個數量級。

頻率與波數的關係

當討論到介質的折射性質而不是吸收性質，亦即關注焦點為折射率的實部，則常會提及「色散關係」—角頻率與波數的函數關係。在粒子的情形，改由相對應的能量與動量的函數關係來描述。

波動與光學

參見：光學色散

「色散關係」一詞源自於光學。讓光穿過折射率不為常數的介質則有辦法使得光速與波長相依；另外的方法是使用非均勻介質中的光，比如波導。在此情形下，波形會隨着時間擴展開來，窄脈衝波會變成較寬的脈衝波。在這些材料中，${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$為群速度^[2]，對應到脈衝包絡線峰值的傳遞速度，並與相速度${\displaystyle {\frac {\omega }{k}}}$不同。^[3]

深水波

參見：水波色散和Airy wave theory

深水的表面重力波的頻率色散。紅點以相速度移動，而綠點以群速度移動。在深水的情形，相速度為群速度兩倍。一同出發的紅、綠點，當紅點走完圖片寬度的全程時，綠點方走一半。

深水波的色散關係常寫為

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}}}$，

其中g是重力造成的加速度。深水的常見定義為水深大於波長之半^[4]。在此情形下，相速度為

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}}}$，

而群速度為

${\displaystyle v_{g}={\frac {d{\omega }}{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

弦波

更多資訊：振動弦

非色散橫波的雙頻率拍頻。既然此波為非色散，則相速度（紅點行進速度）等於群速度（綠點行進速度）。

對一條理想弦而言，色散關係可寫為

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}}$，

其中T為弦的張力，μ為弦每單位長度的質量。

如同真空中的電磁波，理想弦為非色散介質，其相速度與群速度相等，並且與振動頻率無關。

至於非理想弦則需考量到硬度的影響，色散關係變為

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4}}$，

其中${\displaystyle \alpha }$是與弦有關的常數。

固態物理

在固態物理領域，電子的色散關係佔有重要的角色。晶體的週期性意味着：對一給定的動量存在有多種可能的能階，而有些則是不論什麼樣的動量都不可能會具有的能量。所有可能的能量與動量的組合即為一物質的能帶結構。能帶結構的性質定義了一物質是絕緣體、半導體，抑或是導體。

聲子

聲子之於聲波一如光子之於光波：其為攜帶波動能量的量子。聲子的色散關係也是重要且非平凡的。許多系統都顯示出聲子存在於兩個分離的能帶。聲子尚可分為光學聲子支與聲學聲子支。

電子顯微術

關於穿透式電子顯微鏡中的高能電子（例如200 keV），收斂束電子繞射（Convergent beam electron diffraction, CBED） 型態在高階勞厄區（英語：Laue zone）（higher order Laue zone, HOLZ）譜線的能量相依性，允許研究者能對晶體三維色散表面的橫斷面做直接「成像」^[5]。這種動態效應（英語：Dynamical theory of diffraction）可用於晶格參數的準確測量、電子束能量，近期更應用在電子業上。

歷史

艾薩克·牛頓研究過稜鏡的折射現象。然而牛頓卻沒有認出色散關係與不同材料的相關性；假使有認出，他則可能發明出消色差透鏡。^[6]

水波的色散關係是由皮埃爾-西蒙·拉普拉斯於1776年研究得到。^[7]

在幾篇舉足輕重的論文中，色散關係與各種波及粒子散射理論（英語：Scattering theory）中的因果律被連繫了起來，使得克拉莫-克若尼關係式（1926年－1927年間）的通則變得重要。^[8]

參見

• 橢圓偏振技術
• 超短脈衝（英語：Ultrashort pulse）

參考文獻

1. Taylor. Classical Mechanics. University Science Books. 2005: 652. ISBN 1-891389-22-X.
2. F. A. Jenkins and H. E. White. Fundamentals of optics. New York: McGraw-Hill. 1957: 223. ISBN 0-07-032330-5.
3. R. A. Serway, C. J. Moses and C. A. Moyer. Modern Physics. Philadelphia: Saunders. 1989: 118. ISBN 0-534-49340-8.
4. R. G. Dean and R. A. Dalrymple. Water wave mechanics for engineers and scientists. Advanced Series on Ocean Engineering 2. World Scientific, Singapore. 1991. ISBN 978-981-02-0420-4. See page 64–66.
5. P. M. Jones, G. M. Rackham and J. W. Steeds. Higher order Laue zone effects in electron diffraction and their use in lattice parameter determination. Proceedings of the Royal Society. 1977, A 354: 197.
6. Westphal, Never at rest cited from memory. Quite a funny anecdote, worth looking up: Newton dismissed reports of refraction indices at variance from his own because the author was a Jesuit.
7. A.D.D. Craik. The origins of water wave theory. Annual Review of Fluid Mechanics. 2004, 36: 1–28. Bibcode:2004AnRFM..36....1C. doi:10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.
8. John S. Toll. Causality and the dispersion relation: Logical foundations. Phys. Rev. 1956, 104 (6): 1760–1770. Bibcode:1956PhRv..104.1760T. doi:10.1103/PhysRev.104.1760.

外部連結

• Poster on CBED simulations to help visualize dispersion surfaces, by Andrey Chuvilin and Ute Kaiser
• Angular frequency calculator