線性組合

線性組合（英語：Linear combination）是線性代數中具有如下形式的表達式。其中${\displaystyle v_{i}}$為任意類型的項，${\displaystyle a_{i}}$為純量。這些純量稱為線性組合的系數或權。

${\displaystyle w=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}}$

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

定義

${\displaystyle S}$為一向量空間${\displaystyle V}$（附於體${\displaystyle F}$）的子集合。

如果存在有限多個向量屬於${\displaystyle S}$，和對應的純量${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}}$屬於${\displaystyle F}$，使得${\displaystyle v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}}$，則稱${\displaystyle v}$是${\displaystyle S}$的線性組合。

規定：${\displaystyle 0}$向量是空集合的線性組合。

線性生成

主條目：線性生成空間

S 為域 F 上向量空間 V 的子集合。

所有 S 的有限線性組合構成的集合，稱為 S 所生成的空間，記作 span(S)。

任何 S 所生成的空間必有以下的性質：

1. 是一個 V 的子空間（所以包含0向量）

2. 幾何上是直的，沒有彎曲（即，任兩個 span(S) 上的點連線延伸，所經過的點必也在 span(S) 上）

線性無關

主條目：線性無關

對於一個向量集 S =｛v₁,...,v_n｝, 若向量空間中的單個向量可以寫作兩個不同的線性組合，

${\displaystyle v=\sum a_{i}v_{i}=\sum b_{i}v_{i}{\text{ where }}(a_{i})\neq (b_{i}).}$

另一種表述方式是，如果將它們相減 (${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$) ，得到一個純量不全等於零的線性組合，而它的值為零：

${\displaystyle 0=\sum c_{i}v_{i}.}$

那麼v₁,...,v_n 稱為「線性相關」；否則它們為線性無關。

若S是線性無關，而S的生成空間等於V，那麼S是V的基。

仿射組合，錐組合及凸組合

仿射組合（英語：Affine combination），錐組合（英語：Conical combination）和凸組合對線性組合的系數有一定的限制。

組合的種類	系數的限制	集合名	樣板空間
線性組合	無限制	向量子空間	${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$
仿射組合（英語：Affine combination）	${\displaystyle \sum a_{i}=1}$	仿射子空間	仿射超平面
錐組合（英語：Conical combination）	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$	凸錐	象限或八分圓（英語：Octagon (Plane geometry)）
凸組合	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$ and ${\displaystyle \sum a_{i}=1}$	凸集	單體

因為這些組合的限制更加嚴格，所以在這些運算之下的閉合子集也更多。因此，仿射子集，凸錐，和凸集都是向量子空間的一般化形式。所有向量子空間都是仿射子空間，凸錐，也是凸集，但凸集不一定是向量子空間，仿射子空間，或凸錐。

這些概念的產生是由於對於一些特定的數學物件，人們可以採用某些線性組合，但並非任何線性組合：例如，概率分佈在凸組合下是閉合的，並且它們形成一個凸集；但在錐組合，仿射組合，或線性組合下不是閉合的。正測度在錐組合下是閉合的，但在仿射或線性組合下不是。因此，我們將帶正負符號的測度（英語：signed measure）定義為它的線性閉包。

線性和仿射組合可以在任何域或環上定義，但錐組合和凸組合需要「正數」的概念，因此只能在有序體或有序環（英語：ordered ring）上定義，最常見的例子是實數。

如果僅允許乘以純量而不允許相加，則我們得到一個（不一定是凸的）圓錐；通常來說，定義中只允許乘以正純量。

所有這些概念通常都定義為環境向量空間的子集，而不是獨立地由公理定義。仿射空間除外，因為仿射空間也可以看作「沒有原點的向量空間」。

另見

• 凸組合
• 仿射組合（英語：affine combination）：系數之和為1的線性組合