矩陣分解

矩陣分解（decomposition, factorization）是將一個矩陣拆解為數個矩陣的乘積的運算。其依使用目的的不同，可分為幾類。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣
向量 純量 · 向量 · 向量空間 · 向量投影 · 外積（叉積 · 七維叉積） · 內積（點積） · 二重向量 矩陣與行列式 矩陣 · 行列式 · 線性方程組 · 秩 · 核 · 跡 · 單位矩陣 · 初等矩陣 · 方塊矩陣 · 分塊矩陣 · 三角矩陣 · 非奇異方陣 · 轉置矩陣 · 逆矩陣 · 對角矩陣 · 可對角化矩陣 · 對稱矩陣 · 反對稱矩陣 · 正交矩陣 · 么正矩陣 · 埃爾米特矩陣 · 反埃爾米特矩陣 · 正規矩陣 · 伴隨矩陣 · 余因子矩陣 · 共軛轉置 · 正定矩陣 · 冪零矩陣 · 矩陣分解 （LU分解 · 奇異值分解 · QR分解 · 極分解 · 特徵分解） · 子式和餘子式 · 拉普拉斯展開 · 克羅內克積 線性空間與線性變換 線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性映射 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
閱 論 編

例子

在數值分析，矩陣分解常常用來實現一些矩陣運算的快速算法。

例如，當對線性方程組 ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ 進行求解時，矩陣A可以通過LU分解進行分解。LU分解將矩陣分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U。相比於原方程${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$，方程組${\displaystyle L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b} }$ 與${\displaystyle U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b} }$僅需更少的相加和乘法來求解，然而在不精確的算術（如 浮點數）中可能需要更多的數字。

類似的，QR分解將矩陣A分解為兩個矩陣的乘積QR，其中Q是正交矩陣， R是上三角矩陣。方程Q(Rx) = b可以通過Rx = Q^Tb = c求解；方程Rx = c可以通過回帶求解。該方法所需的額外的加法和乘法大概是LU分解法的兩倍，但在不精確的算術中不要求額外的數字，因為QR分解是數值穩定的。

與線性方程解法相關的矩陣分解

• LU分解
• 科列斯基分解
• QR分解
• 特徵分解

基於特徵值和相關概念的分解

• 特徵分解
• 若爾當標準型
• 舒爾分解
• 奇異值分解

其他分解

• 極分解
• 矩陣的平方根

外部連結

• Online Matrix Calculator
• Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）