列空間與行空間

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

定義

矩陣的行空間和列空間均為特殊的子空間，均屬矩陣的四大基本子空間之一。

行空間定義

設一m 行 n列實元素 矩陣為A（m × n 矩陣），則其行空間（英文：Row Space）是由矩陣A的所有行向量所生成的Rⁿ上的子空間，記作C(A^T)或R(A)。其中，矩陣A^T（n × m 矩陣 ）被稱為矩陣A的轉置。

行空間C(A^T)中的所有向量均為矩陣A的行向量的某種線性組合，都為Rⁿ上的向量（即n維向量）。

C(A^T)的維度等於矩陣A的行秩，最大為min(m,n)。即：

dim C(A^T) = dim R(A) = rank(A^T) ≤ min(m,n)

行空間C(A^T)的一組自然基底是矩陣A的行向量的最大線性無關組。

列空間定義

列空間的定義非常類似於行空間。

設一m 行 n列實元素 矩陣為A（m × n 矩陣），則其列空間（英文：Column Space）是由矩陣A的所有列向量生成的R^m上的子空間，記作C(A)。

矩陣A的列空間C(A)中的所有向量均為矩陣A中列向量的某種線性組合，都為R^m上的向量（即m維向量）。

C(A)的維度等於矩陣A的列秩，最大為min(m,n)。即：

dim C(A) = rank(A) ≤ min(m,n)

列空間C(A)的一組自然基底是矩陣A的列向量的最大線性無關組。

推廣

行空間與列空間的概念均可推廣到在任何域上，特別是複數域C。

行空間、列空間的解釋

線性變換解釋

如果把矩陣A當作從Rⁿ到R^m的線性變換，則矩陣的列空間等於這個線性變換的像，一種對向量x（原像）的運算、坐標變換。行空間則是從R^m到Rⁿ的線性變換。

以行空間為例，設A為一n階可逆方陣，給定一個線性方程組Ax=b，則該方程可理解為一種坐標變換：

某個n維向量在某個坐標系下（實際是以A的列向量的最大線性無關組為基底的坐標系，稱為原坐標系)被稱為（描述為）x，則x的各個分量值即該n維向量在原坐標系下的坐標值。矩陣A作用於x是指對該向量在由A的行向量所確定的一組基下作投影。矩陣A可逆，則行向量線性無關，每個行向量實際是一個基向量，需要對x作n次投影。

x在每個基向量上投影都會得到一個投影值，則一共得到n個投影值。將各個投影值按相應的順序從上到下排列寫成向量形式後即得到結果向量b——在新坐標系下的描述，其各個分量即該向量在以A的行向量為基的坐標系下的坐標值。換言之，x和b只是同一個向量在不同坐標系下的坐標（描述），矩陣A則是進行描述轉換的（坐標變換）的媒介。

由於已假設A可逆，若在上述基礎上對方程Ax=b兩邊同時右乘A的逆矩陣A^-1，則是進行了一次逆變換，相當於將b投影在以A的列向量為基底的坐標系（即原坐標系），返回到原坐標系下的坐標表示x，即：將向量在新坐標系下的坐標表示b還原為在原坐標系下的坐標表示x。

上述的兩次變化可形式化表示為：

AxA^-1=x

且上式以矩陣乘法的角度看是顯然的。兩次變換簡言之：

1. 首先投影x到A的行空間，得到在新坐標下的坐標描述b；
2. 進行可逆的變換；
3. 把結果向量b放置到A的列空間中。所以結果的 Ax=b必定居留在A的列空間中。

幾何解釋

列空間

矩陣A的列空間C(A)是所有A的縱列的所有線性組合。設A為m × n 矩陣，其第i個列向量為a_i,則C(A)的形式化表述為：

如果A = [a₁, ...., a_n]，則C(A) = Span {a₁, ...., a_n}。

行空間

矩陣A的行空間R(A)或C(A^T)是所有A的橫行的所有線性組合。

由於矩陣A的行向量經轉置後成為列向量，則矩陣A^T的列空間即矩陣A的行空間。同理，A的列空間也是A^T的行空間。相應地，設矩陣A為m × n 矩陣，則其轉置A^T為n × m 矩陣，其第i個列向量為a^T_i，則C(A^T)的形式化表述為：

如果A^T = [a^T₁, ...., a^T_n]，則C(A^T)=R(A) = Span {a^T₁, ...., a^T_n}。

例子

給定矩陣J:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$

橫行是 r₁ = (2,4,1,3,2), r₂ = (−1,−2,1,0,5), r₃ = (1,6,2,2,2), r₄ = (3,6,2,5,1)。 結果的J的行空間是{ r₁, r₂, r₃, r₄ } 張成的R⁵的子空間。因為這4個行向量是線性無關的，行空間是4維的。此外，在這種情況下，可以被看出它們都正交於向量n = (6,−1,4,−4,0)，所以可以推出行空間由正交於n的所有R⁵中的向量組成。

參見

• 零空間

外部連結

• MIT Video Lecture on Column Space and Nullspace （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, from MIT OpenCourseWare

參考文獻

• Strang,G.(2009)Introduction to Linear Algebra. 4th Edition.Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, pp.120-189.
• 3Blue1Brown.(2016)Linear transformations and matrices | Essence of linear algebra, chapter 3. Available from: https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE&index=4&t=0s&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） [Assessed 17th April 2018].