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函數在某點附近展開所得的無窮項冪和 来自维基百科,自由的百科全书
在數學中,泰勒級數(英語:Taylor series)用無限項連加式——級數來表示一個函數,這些相加的項由函數在某一點的導數求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克·泰勒(Sir Brook Taylor)來命名的。通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數又叫做麥克勞林級數,以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林的名字命名。
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拉格朗日在1797年之前,最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中,泰勒級數需要截斷,只取有限項,可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限(如果存在極限)。即使泰勒級數在每點都收斂,函數與其泰勒級數也可能不相等。在開區間(或複平面上的開區間)上,與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數。
在數學上,對於一個在實數或複數鄰域上,以實數作為變量或以複數作為變量的函數,並且是無窮可微的函數,它的泰勒級數是以下這種形式的冪級數:
如果泰勒級數對於區間中的所有都收斂並且級數的和等於,那麼我們就稱函數為解析形的函數(analytic)。一個函數當且僅當(簡單地說,「只有在且只要在」)能夠被表示為冪級數的形式時,才是解析形的函數。通常會用泰勒定理來估計級數的餘項,這樣就能夠確定級數是否收斂於。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。
以下三個事實可以說明為什麼泰勒級數是十分重要的:
對於一些無窮的可以被微分函數,雖然它們的展開式會收斂,但是並不等於。例如,分段函數,如果並且,則時所有的導數都為零,所以這個的泰勒級數為零,且其收斂半徑為無窮大,不過函數僅在處為零。但是,在以複數作為變量的函數中這個問題並不存在,因為當沿虛軸趨於零,並不趨於零。
如果一個函數在某處引發一個奇異點,它就無法被展開為泰勒級數,不過如果變量是負指數冪的話,我們仍然可以將其展開為一個級數。例如,雖然在的時候,會引發奇異點,但仍然能夠把這個函數展開為一個洛朗級數。
最近,專家們發現了一個用泰勒級數來求解微分方程的方法——Parker-Sochacki method[1]。用皮卡反覆運算便可以推導出這個方法。
下面我們給出了幾個重要的麥克勞林級數。當變量是複數時,這些等式依然成立。
由無窮遞縮等比數列求和式:
以為底數的指數函數的麥克勞林序列是
以為底數的自然對數的麥克勞林序列是
常用的三角函數可以被展開為以下的麥克勞林序列:
希臘哲學家芝諾在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題,得出不可能的結論 - 芝諾悖論。後來,亞里士多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁,但德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究,此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮竭法才使得一個無窮級數被逐步的細分,得到了有限的結果。[2]幾個世紀之後,中國數學家劉徽也獨立提出了類似的方法。[3]
進入14世紀,馬德哈瓦最早使用了泰勒級數以及相關的方法[4]。儘管他的數學著作沒有流傳下來,但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數,這些級數包括正弦、餘弦、正切、和反正切三角函數等等。之後,喀拉拉學派在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近,這些工作一直持續到16世紀。
到了17世紀,詹姆斯·格雷果里同樣繼續着這方面的研究並且發表了若干麥克勞林級數。但是直到1715年,布魯克·泰勒 [5] 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函數的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。 麥克勞林級數是泰勒級數的特例,是愛丁堡大學的科林·麥克勞林教授在18世紀發表的,並以其名字命名。
牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由「牛頓前向差分方程」的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五[6],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續「泰勒展開」的離散對應。
對於x值間隔為非一致步長,牛頓計算均差,對x值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況,計算差分,前向差分的定義為:
牛頓前向差分插值公式為:
牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了的無窮級數,在1666年得出了和的無窮級數,在1669年的《分析學》中發表了、、和的無窮級數;萊布尼茨在1673年大概也得出了、和的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)》中研討了有限差分方法,其中論述了他在1712年得出的泰勒定理,這個成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出,而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。
他對牛頓的均差分的步長取趨於的極限,得出:
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