白努利數

數學上，白努利數 B_n 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為：

B₀ = 1, B±
1 = ± 1/2, B₂ = 1/6, B₃ = 0, B₄ = − 1/30, B₅ = 0, B₆ = 1/42, B₇ = 0, B₈ = − 1/30.

n	B± n
0	1
1	±1/2
2	1/6
3	0
4	−1/30
5	0
6	1/42
7	0
8	−1/30
9	0
10	5/66
11	0
12	−691/2730
13	0
14	7/6
15	0
16	−3617/510
17	0
18	43867/798
19	0
20	−174611/330

上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，而這兩種定義只有在n = 1 時有所不同：

• B−
  n 表示第一白努利數 (A027641 / A027642)，由美國國家標準技術研究所 (NIST)制定，在這標準下 B−
  1 = − 1/2.
• B+
  n 表示第二白努利數 (A164555 / A027642)，又被稱為是「原始的白努利數」^[1] ，在這標準下 B+
  1 = + 1/2.

由於對於所有大於1的奇數 n白努利數 B_n = 0 ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用"B_n"來代表 B_2n，不過在本文中不會使用如此的簡寫。

等冪求和

主條目：等冪求和

白努利數B_n是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵，定義等冪和如下，其中m, n ≥ 0：

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +{n}^{m}}$

這數列和的公式必定是變數為n，次數為m +1次的多項式，稱為白努利多項式。白努利多項式的系數與白努利數有密切關係如下：

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},}$

其中(m + 1
k) 為二項式系數。

舉例說，把m取為1，我們有${\displaystyle 1+2+...+n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}$

白努利數最先由雅各布·白努利研究，狄默夫以他來命名。

白努利數可以由下列遞歸公式計算：

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=m+1}$，

初值條件為B₀ = 1，B₁ = 1/2。 或者：${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=0}$，

初值條件為B₀ = 1，B₁ = -1/2。

白努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（e^x − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪級數的收斂半徑），有

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$。

有時會寫成小寫b_n，以便與貝爾數分別開。

最初21項白努利數記於OEIS中的數列A027641和A027642。

可以證明對所有不是1的奇數n有B_n = 0。

數列中乍看起來突兀的B₁₂ = −691/2730，喻示白努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。

白努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生白努利數的算法。

一些等式

歐拉以黎曼ζ函數表達白努利數為：

${\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}}$。

在[−1, 0]區間上的連續均勻機率分佈的n階累積量是B_n/n。

白努利數的算術性質

白努利數可以用黎曼ζ函數表達為B_n = − nζ（1 − n），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。

白努利數的可整除性是與分圓體的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次體的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。白努利數還和代數K理論有關：若c_n是B_n/2n的分子，那樣${\displaystyle K_{4n-2}(\mathbb {Z} )}$的階是−c_2n若n為偶數；2c_2n若n為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到B_n上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零白努利數B_n的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pB_p−1模p同餘於−1。

p進連續性

白努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為p進連續性。若b，m和n是正整數，使得m和n不能被p − 1整除，及${\displaystyle m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1)}$，那麼

${\displaystyle (1-p^{m-1}){B_{m} \over m}\equiv (1-p^{n-1}){B_{n} \over n}\,{\bmod {\,}}p^{b}}$。

因為${\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)}$，這也可以寫成

${\displaystyle (1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)\,{\bmod {\,}}p^{b}\,}$，

其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉${\displaystyle 1-p^{z}}$後，對適合模p − 1同餘於某個${\displaystyle a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1}$的負奇數上的p進數連續，因此可以延伸到所有p進整數${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\,}$，得出p進ζ函數。

白努利數的幾何性質

在${\displaystyle n\geq 2}$時給出可平行流形邊界的怪（4n−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了白努利數。若B是B_4n/n的分子，那麼這種怪球的數目是${\displaystyle 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B}$。（拓撲學文章中的公式與這裏不同，因為拓撲學家為白努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。）

參見

• 等冪求和
• 黎曼ζ函數

外部連結

• 白努利數網頁 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 整數數列線上大全——與白努利數有關的數列的記錄
• 首498個白努利數 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）取自古登堡計劃

1. A164555.