正交四邊形

在歐幾里得幾何中，正交四邊形（英語：Orthodiagonal quadrilateral，也稱為正軸四邊形）是指對角線相互垂直的四邊形。箏形、菱形、正方形、婆羅摩笈多四邊形都是特殊的正交四邊形^[1]。

正交四邊形（黃色）與其邊構成的正方形，由勾股定理可知，兩個紅色正方形與兩個藍色正方形的面積和相等

基本性質

邊

根據勾股定理，正交四邊形的對邊平方和相等。暨對於任意正交四邊形，其四邊長分別為a、b、c、d，都有^[2][3]：

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

反之，任意滿足該公式的四邊形一定是正交四邊形^[4]，可以通過餘弦定理、平面向量、複數和反證法等多種方式證明^[5]。

角

根據定義，若且唯若凸四邊形ABCD為正交四邊形時，有

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

其中P為對角線交點。

此命題的逆命題也成立，暨對於相交於點P的線段AB、CD，若滿足${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$，則AB與CD垂直。可通過對頂角相等來證明此命題。

面積

設K為正交四邊形的面積，p和q為正交四邊形的對角線長，則有^[6]：

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}}$

反之，所有滿足${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}}$的四邊形都是正交四邊形^[5]。此外，正交四邊形也是所有p和q為對角線長構成的四邊形面積最大的，暨對於任意平面四邊形，都有${\displaystyle K\leq {\frac {pq}{2}}}$，若且唯若對角線相互垂直時取等於號。更一般的，則為：

${\displaystyle K={\frac {pqsin{\theta }}{2}}}$

其中${\displaystyle \theta }$為兩對角線的夾角。

與其它四邊形的關係

• 箏形，同時滿足正交四邊形與圓外切四邊形的凸四邊形
• 婆羅摩笈多四邊形，同時滿足正交四邊形與圓內接四邊形的凸四邊形
• 直角箏形，同時滿足正交四邊形與雙心四邊形的凸四邊形
• 正交梯形，同時滿足正交四邊形與一對邊平行（梯形）的凸四邊形
• 菱形，同時滿足正交四邊形與兩對邊平行（平行四邊形）的凸四邊形
• 中方四邊形，同時滿足正交四邊形與對角線相等（等對角線四邊形）的凸四邊形

與圓外切四邊形的比較

正交四邊形與圓外切四邊形有一些相似之處，如下表^[5]：

圓外切四邊形	正交四邊形
${\displaystyle a+c=b+d}$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

其中，a、b、c、d分別為四邊長，h₁, h₂, h₃, h₄為四邊與對角線組成的三角形的高，R₁, R₂, R₃, R₄為此四個三角形的外接圓半徑。

參考文獻

1. Josefsson, Martin, Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 2010, 10: 119–130 [2024-09-08], （原始內容 (PDF)存檔於2011-08-13）.
2. Altshiller-Court, N., College Geometry, Dover Publications, 2007. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136-138.
3. Mitchell, Douglas, W., The area of a quadrilateral, The Mathematical Gazette, 2009, 93 (July): 306–309.
4. Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam, Class preserving dissections of convex quadrilaterals (PDF), Forum Geometricorum, 2009, 9: 195–211 [2024-09-08], （原始內容存檔 (PDF)於2019-12-31）.
5. Josefsson, Martin, Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals (PDF), Forum Geometricorum, 2012, 12: 13–25 [2024-09-08], （原始內容 (PDF)存檔於2020-12-05）.
6. Harries, J., Area of a quadrilateral, The Mathematical Gazette, 2002, 86 (July): 310–311