在幾何學中,四邊形是指有四條邊和四個頂點的多邊形,其內角和為360度。四邊形有很多種,其中對稱性最高的是正方形,其次是長方形或菱形,較低對稱性的四邊形如等腰梯形和鳶形,對稱軸只有一條。其他的四邊形依照其類角的性質可以分成凸四邊形和非凸四邊形,其中凸四邊形代表所有內角角度皆小於180度。非凸四邊形可以再進一步分成凹四邊形和複雜四邊形,其中複雜四邊形表示邊自我相交的四邊形。
簡單四邊形
四邊形可以分成簡單四邊形和複雜四邊形兩大類,簡單四邊形表示邊沒有交錯的四邊形,複雜四邊形表示邊有交錯的四邊形。
凸四邊形是指所有角都比平角小的四邊形,且兩條對角線都落在其內部。
- 不規則凸四邊形:是凸四邊形中最大的子集,包含了所有的凸四邊形,一般會用任意凸四邊形稱呼之。
- 不平行四邊形:沒有任何邊互相平行的四邊形。這個四邊形的名稱在英式英文與美式英文中有不同的稱呼,英式英文將之稱為「irregular quadrilateral」,而北美英文則稱為「trapezium」。
- 梯形:只有一雙對邊平行的四邊形。這個四邊形的名稱在英式英文與美式英文中有不同的稱呼,英式英文將之稱為Trapezium,而北美英文則稱為trapezoid。
- 等腰梯形:一雙對邊平行、另外兩邊等長但不平行,也稱為圓內接梯形,是有一對平行邊的圓內接四邊形,一種擁有更高的對稱性的梯形。
- 三等邊梯形:一雙對邊平行、另外兩邊和一底邊等長的梯形。
- 平行四邊形:具有兩對平行邊的四邊形或兩對邊平行的四邊形。其等效條件是有兩對邊等長、兩對角等角,或者是對角線彼此平分。正方形、長方形、斜方形和菱形都是平行四邊形。
- 菱形:主流文獻上有兩種定義。較粗疏的定義是四邊相等,在這定義下,正方形是菱形的一種。另外一種定義較嚴謹,菱形是四邊相等,但角不是直角[1]。在這定義下的正方形就不是菱形的一種。
- 斜方形:對角相等且對邊相等,但邊不全相等且角不是直角的四邊形[1]。換句話說,就是平行四邊形中不是菱形的形狀[2]。其英語名稱為Rhomboid[3],容易與菱形(英語:Rhombus)[4]混淆。
- 矩形:四個角都是直角的四邊形。其等效條件是對角線互相平分且等長。正方形和長方形是矩形的一種。
- 長方形:角是直角,但四邊不全相等的四邊形[1]。
- 正方形:四邊相等且四個角是直角的四邊形[1]。由於其四個角都等角,又凸四邊形內角和為360度,因此其四個角都是直角。其等效條件是對邊平行且等長,對角線互相垂直平分且等長。
- 鳶形,相鄰邊等長的四邊形。其中一條對角線可以將之分割成兩個全等的三角形,因此在這對角線兩側的對角會相等,這也意味着其對角線垂直。鷂形又稱鳶形或箏形。
- 圓內接四邊形:含有外接圓的四邊形,換句話說,這個四邊形的四個頂點落在一個圓上。
- 圓外切四邊形:含有內切圓的四邊形,換句話說,這個四邊形的四條邊與一個圓相切。
- 圓外切梯形:有一對平行邊的圓外切四邊形。
- 雙心四邊形:內切圓在兩對對邊的切點的連線相互垂直,含有外接圓和內切圓。這個四邊形的頂點落在一個圓上且對角和為180度。
- 直角鳶形:有一對直角的鳶形。正鳶形是一種雙心四邊形。
- 正交四邊形:兩對角線垂直的四邊形。
- 等對角線四邊形:對角線等長的四邊形[5]。
- 旁心四邊形:四條邊向外延伸後能與一個圓心在四邊形外的圓相切的四邊形[6][7]。
- Equilic四邊形:表示有一對邊長度相等,且兩者成60度角的四邊形。
- 瓦特四邊形:一個對邊等長的四邊形[8]。
- 二次四邊形:是指四個頂點都落在正方形周界上的四邊形[9]。
- 直徑四邊形 :是指有一條邊是外接圓圓心的圓內接四邊形[10]。
簡單四邊形中的非凸四邊形是指不是凸四邊形的其他四邊形。
- 凹四邊形:是指有至少一個角大於180度的四邊形。
- 鏢形(或箭頭形、凹鳶形):相鄰邊等長的凹四邊形。
複雜四邊形
邊自我相交的四邊形稱為複雜四邊形、折四邊形、交叉四邊形、蝴蝶四邊形或領結四邊形。交叉四邊形在兩個相交邊的四個內角(兩個銳角和兩個優角)內角和可達720度[11]。
分類
分類依據 | 根據對稱的特性 | 根據四邊長度: | 根據角度大小: | 根據邊的情形: | 根據頂點的情形: |
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種類 |
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面積
其中、表示兩對角線的長度,是對角線的夾角[14] 在正交四邊形(如菱形、正方形或鳶形等),這個式子可以化簡成:
其中由於是90°,因此修正項可以消掉。
若凸四邊形的四邊長度分別是、、、,對角線長度為、,對角線相交的角度為,其面積為:
若對角線相交的角度為,四邊形的對邊的關係:
底下是一些針對特殊四邊形的面積公式:
扭歪四邊形
扭歪四邊形,又稱不共面四邊形,是指頂點並非完全共面的四邊形。因為扭歪四邊形不存在唯一確定的內部區域,故無法計算其面積。
參考文獻
外部連結
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