佩服數

在數論中，佩服數（英文：Admirable numbers），是指若一個正整數除了本身外之所有的因數^{[註 1]}，存在一個因數 $d\,^{\prime }$ ，將其他不是本身、不是 $d\,^{\prime }$ 的因數相加後，再減掉 $d\,^{\prime }$ ，若等於本身，我們就稱它為「佩服數」。換句話說佩服數是計算一數的因數和，但其中一個因數是以相反數和其他因數相加，得到的值是自己本身的數。有這種性質的數雖未如完全數一般的完美，但仍被形容為「令人敬佩的」^[1]。

所有大於3的質數的6倍都是佩服數^[1]^{[註 2]}，因此佩服數有無窮多個。

一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數 $d\,^{\prime }$ ，將其他不是本身、不是 $d\,^{\prime }$ 的因數相加後，再減掉 $d\,^{\prime }$ ，若等於本身，我們就稱它為佩服數。

例如12的因數有1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數2，使得 $(1+3+4+6)-2=12$ ^[2]，同時，12也是最小的佩服數^[1]。

更為嚴格地說，佩服數是指使得公式 $\sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n$ 成立的正整數，其中σ指的是因數和函數，即 $n$ 的所有正因數（包括其本身n）之和。 $d\,^{\prime }$ 是n的其中一個因數。

例如20的因數有1、2、4、5、10、20，其因數和函數的結果為 $\sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42$ ，存在一個因數1，使得 $\sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2$ ，所以20可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數^[3]。

最小的一些佩服數是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS數列A111592）

以上列出的佩服數都是偶數。最小的奇佩服數是945^[4]，同時最小的奇過剩數、奇半完全數^[5]也是945。

前幾個奇佩服數是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS數列A109729）

連續的佩服數^{[註 3]}比連續的過剩數還要少。在10¹²以下，只有兩組連續佩服數，分別是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)^[1]。

佩服數的分佈並不像過剩數那樣，過剩數有着非零的自然密度^[6]，而佩服數的成長率非線性的，例如小於100的佩服數有13個、小於1,000的佩服數有65個、小於10,000的佩服數有379個（OEIS數列A109727），其密度隨着數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於3的質數的六倍都是佩服數^[1]^{[註 2]}，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數^{[註 4]}。

盈完全數

有一種與佩服數類似但不太一樣的定義：一個正整數除了本身外之所有因數中，存在一個因數 $d\,^{\prime }$ ，將其他不是本身的因數相加後，再減掉 $d\,^{\prime }$ ，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……（OEIS數列A153501）

例如18的因數有1、2、3、6、9、18有一個因數3，使得 $\left(1+2+3+6+9\right)-3=18$ 。

有這種性質的數最小的奇數是173369889^[7]，同時也是最小的奇擬完全數（OEIS數列A181595）^[8]，但不是佩服數。

特別的，這些數字正好與盈完全數（Abundant-perfect numbers）重疊，盈完全數的定義為：自己的因數和（不包含自己）減去自己得到的數可以整除自己。

符合這種定義的數未必是佩服數，例如18雖然符合這種定義，但並未符合佩服數的定義^[9]，因此18不是佩服數^{[註 5]}。

相容數

薩克斯參考了親和數的定義，定義了一個新的數叫做相容數（compatible numbers），其定義為有一對數字N和M，分別各存在一個因數d_N和d_M，N將其他不是本身、不是d_N的因數相加後，再減掉d_N，得到M、而M將其他不是本身、不是d_M的因數相加後，再減掉d_M，得到N。

例如30和40^[9]：

30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40

40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前幾對相容數是：

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……（OEIS數列A109797）和（OEIS數列A109798）

虧完全數

有一種與佩服數類似但相反的定義：若一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數d'，將其他不是本身的因數相加後，再加上d'，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……^{[註 6]}

例如10的因數有1、2、5、10有一個因數2，使得 $(1+2+5)+2=10$

特別的，這些數字正好與虧完全數（Deficient-perfect numbers）重疊，虧完全數的定義為：自己減去自己的因數和（不包含自己）得到的數可以整除自己^[10]^[11]，在這個定義中1也符合，因為1不含自己的因數和是0，1減去零是1，當然可以整除1。

最小的幾個虧完全數是：

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……（OEIS數列A271816）

所有二的乘冪都是虧完全數^{[註 7]}，除了二的乘冪之外的虧完全數有：

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……（OEIS數列A060326）

楚姆克勒數

楚姆克勒數（Zumkeller numbers）是指因數可以分為相同總和的兩組數字。例如48的因數可以分為兩組：{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48}，其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48，因此48是一個楚姆克勒數^[13]。

所有佩服數都是楚姆克勒數，因為佩服數中的相減因數（即其他因數和減去此因數會等於本身的那個因數）以外的因數存在一個因數，其與佩服數中的相減因數相加後會等於其他因數之和。

前幾個楚姆克勒數是：

6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……（OEIS數列A083207）

[註 1]
為方便說明，本條目中的「因數」一律指正因數。
[註 2]
假設p是一個大於3的質數，則6p可因數分解為 $2\times 3\times p$ ，因此6p共有8個因數，分別為：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，當中存在一個因數6，使得 $(1+2+3+p+2p+3p)-6=6p$ 本身，因此對所有大於3的質數 $p$ ， $6p$ 都是佩服數
[註 3]
指兩個相鄰的整數都是佩服數的情況
[註 4]
假設p是一個大於3的質數、q是一個完全數，則 $p\cdot q$ 的因數包含所有q的因數和所有q與p的乘積，已知q的因數和為2q，因此 $p\cdot q$ 的所有正因數和為 $2q+2p\cdot q$ ，不含 $p\cdot q$ 本身的因數和為 $(2q+2p\cdot q)-p\cdot q$ 為 $2q+p\cdot q$ ，因此當中存在一個因數q使得其不包括q的因數和 $(q+p\cdot q)$ 減去q等於 $p\cdot q$ 本身，因此對所有大於3的質數p， $p\cdot q$ 都是佩服數
[註 5]
18的因數有1，2，3，6，9，18，假設d'為1，得 $(2+3+6+9)-1=19$ ，非18；假設d'為2，得 $(1+3+6+9)-2=17$ ，非18；假設d'為3，得 $\left(1+2+6+9\right)-3=15$ ，非18；假設d'為6，得 $(1+2+3+9)-6=9$ ，非18；假設d'為9，得 $(1+2+3+6)-9=3$ ，非18；假設d'為18，得 $(1+2+3+6+9)-18=3$ ，非18。因此18不存在因數d'，將其他不是本身、不是d'的因數相加後，再減掉d'，能等於本身，因此18不是佩服數^[9]
[註 6]
該數列未被整數數列線上大全收錄。
[註 7]
二的乘冪的因數基本上是低於該數的所有二的乘冪，例如64的因數為1、2、4、8、16、32、64，為小於等於64的所有二的乘冪，因此根據二的乘冪級數的性質^[12]，將不是本身的因數相加相當於從1到乘冪少1的二乘冪級數之和因此必等於本身減一，而1為所有自然數的因數，因此二的乘冪必定會是虧完全數。