設有矩陣:
它的跡是:
= 3 + 9 + 4 = 16
設系數域為
的
是一個有限維的向量空間,維數是n。給定任一線性映射
,可以定義此一映射的跡數為其轉換矩陣的跡,即選定
的一個基底並用對應於此基底的一個方形矩陣描述
,再定義這個方形矩陣的跡數為
的跡數。這個定義下
的跡數和所選取的基無關:只需要注意到不同的基底的選取實際上等價於對變換矩陣做一次相似變換,而兩個相似的矩陣的跡數是一樣的。因此這樣的定義是自洽的。
另外一種定義涉及到行列式的性質。考慮
的一個基底
,以及函數:
根據行列式理論,這個函數也是一個行列式型的函數,也就是說存在一個只取決於
的量
,使得
[5]
可以證明,這個純量
就等於之前定義的
的跡數[6]。
由跡的定義可知跡可以看作是矩陣的實純量函數,所以我們可以通過求實純量函數的梯度來求跡的梯度。
- A是m×m矩陣時,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}={\mathbf {I} }_{m}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6e611b9cd15d54ebade6549cbe3cb801f01a21)
- m×m矩陣A可逆時,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-2})^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/defd84e3dd597378eeedf44b72bf547c72d04095)
- 對於兩個向量x和y的外積,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {xy}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {yx}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {y}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4983a0535affe6188dd69eb490e9e635a5cfb479)
- 若A為m×n矩陣,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3338b99eb70cccd688184607c3e9aad456fc33)
- 若A為m×m矩陣,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{2})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} ^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc9c01216a95b936444fecfb1708f01cd4cc135)
- 若A為m×n矩陣,B是m×n矩陣,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15d0d17c325a54360973700d9bb707c3b7cbed2)
- 若A為m×n矩陣,B是n×m矩陣,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} ^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21bbe875c75cf2ea42cdecaf994835215e977be)
- 當A和B均為對稱矩陣時,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{T}-diag(\mathbf {B} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963e689d879a8da3708885e4c6a3b533897aa77a)
- 若A和B都是m×m矩陣,並且A是非奇異矩陣,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} ^{-1})^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205f8b8e19f6646d49b0ebe2070fe2df28542c62)
Carl Dean Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra,第110頁
Karim M. Abadir,Jan R. Magnus, Matrix algebra,第168頁
Werner, Linear Algebra,第126頁
Werner, Linear Algebra,第127-128頁
- (英文)Karim M. Abadir,Jan R. Magnus. Matrix algebra. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0521537469.