特徵值和特徵向量
矩陣的性質 / 維基百科,自由的 encyclopedia
在數學上,特別是線性代數中,對於一個給定的方陣,它的特徵向量(eigenvector,也譯固有向量、本徵向量) 經過這個線性轉換[a]之後,得到的新向量仍然與原來的 保持在同一條直線上,但其長度或方向也許會改變。即, 為純量,即特徵向量的長度在該線性轉換下縮放的比例,稱 為其特徵值(eigenvalue,也譯固有值、本徵值)。如果特徵值為正,則表示 在經過線性轉換的作用後方向也不變;如果特徵值為負,說明方向會反轉;如果特徵值為0,則是表示縮回零點。但無論怎樣,仍在同一條直線上。圖1給出了一個以油畫《蒙娜麗莎》為題材的例子。在一定條件下(如其矩陣形式為實對稱矩陣的線性轉換),一個轉換可以由其特徵值和特徵向量完全表述,也就是說:所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一個特徵空間(eigenspace)是具有相同特徵值的特徵向量與一個同維數的零向量的集合,可以證明該集合是一個線性子空間,比如 即為線性變換 中以 為特徵值的特徵空間。
線性代數 | ||||||
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這些概念在純數學和應用數學的眾多領域中都有重要的應用。在線性代數和泛函分析之外,甚至在一些非線性的情況下,這些概念都是十分重要的。
「特徵」一詞譯自德語的eigen,由希爾伯特在1904年首先在這個意義下使用(赫爾曼·馮·亥姆霍茲在更早的時候也在類似意義下使用過這一概念)。eigen一詞可翻譯為「自身的」,「特定於...的」,「有特徵的」或者「個體的」—這強調了特徵值對於定義特定的轉換上是很重要的。