極分解

在數學中，特別是線性代數和泛函分析裏，一個矩陣或線性算子的極分解是一種類似於複數之極坐標分解的分解方法。一個複數 z 可以用它的模長和輻角表示為：

${\displaystyle z=re^{i\theta }\,}$

其中 r 是 z 的模長（因此是一個正實數），而 ${\displaystyle \theta }$ 則為 z 的輻角。

矩陣的極分解

一個復係數矩陣 A 的極分解將其分解成兩個矩陣的乘積，可以表示為：

${\displaystyle A=UP\,}$

其中 U 是一個酉矩陣，P 是一個半正定的埃爾米特矩陣。這樣的分解對任意的矩陣 A 都存在。當 A 是可逆矩陣時，分解是唯一的，並且 P 必然為正定矩陣。注意到：

${\displaystyle \det A=\det P\,\det U=re^{i\theta }}$

可以看出極分解與複數的極坐標分解的相似之處：P 對應着模長（${\displaystyle |\det A|=\det P}$），而 U 則對應着輻角部分 ${\displaystyle \theta }$（${\displaystyle \det U=e^{i\theta }}$）。
矩陣 P 可以由

${\displaystyle P={\sqrt {A^{*}A}}}$

得到，其中 A* 表示矩陣 A 的共軛轉置。由於 ${\displaystyle A^{*}A}$ 為半正定的埃爾米特矩陣，它的平方根唯一存在，所以這個式子是有意義的。而矩陣 U 可以通過表達式

${\displaystyle U=AP^{-1}}$ 得到。

當對矩陣 A 進行奇異值分解得到 A = W Σ V^*後，可以因而導出其極分解：

${\displaystyle P=V\Sigma V^{*}\,}$

${\displaystyle U=WV^{*}\,}$

可以看到導出的矩陣 P 是正定矩陣，而 U 是酉矩陣。

對稱地，矩陣 A 也可以被分解為：

${\displaystyle A=P'U\,}$

這裏的 U 仍然是原來的酉矩陣，而 P′ 則等於：

${\displaystyle P'=UPU^{-1}={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}}$

這個分解一般被稱為左極分解，而文章開頭介紹的分解被稱為右極分解。左極分解有時也被稱為逆極分解。

矩陣 A 是正規的若且唯若 P′ = P。這時候 UΣ = ΣU，並且 U 可以用與 Σ 交換的酉對稱矩陣 S 進行酉對角化，這樣就有 S U S* = Φ^-1，其中 Φ 是一個表示輻角的酉對角矩陣e^iφ。如果設 Q = V S^*，那麼極分解就可以被改寫為：

${\displaystyle A=(Q\Phi Q^{*})(Q\Sigma Q^{*}),\,}$

因此矩陣 A 有譜分解：

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{*}\,}$

其中的特徵值為複數，ΛΛ^* = Σ²。

將 A 射到其極分解裏的酉部分 U 是一個從一般線性群 GL(n,C) 射到酉群 U(n) 的映射。這是一個同倫等價，因為所有正定矩陣構成的空間是一個可縮空間。實際上，U(n) 是 GL(n,C) 的極大緊子群。

希爾伯特空間上的有界算子

從復希爾伯特空間到復希爾伯特空間的有界線性算子 A 的極分解，是將其正則分解為一個准等距變換和一個半正定算子的乘積。

矩陣的極分解被推廣為：如果 A 是一個有界線性算子，那麼可以將其唯一地分解為乘積 A = UP，其中 U 是一個準等距變換，而 P 是一個半正定的自伴算子，並且 U 的定義空間覆蓋 P 的像集。

無界算子

如果 A 是復希爾伯特空間之間的閉稠定無界算子，那麼仍然有惟一的極分解

${\displaystyle A=U|A|\,}$

這裏 ${\displaystyle |A|}$ 是一個（可能無界）非負自伴算子，與 ${\displaystyle A}$ 有相同的定義域，${\displaystyle U}$ 是一個在值域 ${\displaystyle \operatorname {Range} (|A|)}$ 的正交補上為 0 的部分等距映射。

用上面同樣的引理，在無界算子同樣一般地成立。如果 Dom(A*A) = Dom(B*B) 和 A*Ah = B*Bh 對所有 h ∈ Dom(A*A) 成立，那麼存在一個部分等距 U 使得 A = UB。如果 Ran(B)^⊥⊂ Ker(U)，則 U 是惟一的。算子 A 是閉稠定的保證了算子 A*A 是自伴的（有同樣的定義域），從而我們可以定義(A*A)^½。 利用引理便給出了極分解。

如果一個無界算子 A 是對馮·諾依曼代數 M的affiliated operator，且 A = UP是其極分解，那麼 U 在 M中從而是 P, 1_B(P) 對任何 [0, ∞) 中 Borel 集 B 的譜投影。

應用

連續介質力學中使用極分解來將形變分解成拉伸和旋轉的部分，其中 P 表示拉伸的部分，U 表示旋轉的部分。

參見

• 奇異值分解
• 矩陣分解
• Cartan分解
• 岩澤分解

參考來源

• Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990

• Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)