在數學分支線性代數之中,向量空間中一個向量集合的線性生成空間(linear span,也稱為線性包 linear hull),是所有包含這個集合的線性子空間的交集,從而一個向量集合的線性生成空間也是一個向量空間。
Quick Facts 線性代數, 向量 ...
線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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給定域 K 上的向量空間 V,集合 S(不必有限)的生成空間定義為所有包含 S 的線性子空間 V 的交集 W,稱 W 為由 S(或 S 中的向量)生成的子空間。
如果
是 V 的有限子集,則生成空間為
![{\displaystyle {\rm {span}}\left(S\right)={\rm {span}}\left(v_{1},...,v_{r}\right)=\left\{{\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{r}v_{r}\mid \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r}\in \mathbf {K} }\right\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19789253c8b4f4af8f7cbb8e96ef9245f34fa40)
S 的生成空間也可定義為 S 中元素的所有有限線性組合組成的集合。因為容易驗證:S 中向量的有限線性組合的集合是包含 S 的一個向量空間,反之任何包含 S 的向量空間必然都包含 S 中向量的有限組合,故兩個定義是等價的。
如果 S 的生成空間是 V,則 S 稱為 V 的生成集合(spanning set)。V 的一個生成集合不必是 V 的一組基,因其不必是線性無關的。但是,對給定向量空間的極小生成集合一定是一組基。換句話說,V 的生成集合是一組基若且唯若 V 的任何向量可以唯一的寫成生成集合中一些元素的線性組合。
如果 V 是無限維向量空間,S 是無窮集合,則 S 中的無限個向量的線性組合(如果收斂的話)不一定屬於 S 的生成空間。
- 實向量空間 R3 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一個生成集合,這個生成集合事實上是一組基。這個空間的另一組生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一組基,因為它們不是線性獨立的。
- 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 R3 的生成集合;它的生成空間是 R3 中最後一個分量為零的向量組成的空間。
- 設 V={ (x,y,z) ∈R3 |x+y-z=0 },則 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 V 的一個生成集合,也是一組基。
定理 1:向量空間 V 的非空集合 S 生成的子空間是 S 中向量的所有有限線性組合;
- 如註釋中所說,這個定理如此熟知,以至有時也作為一個集合的生成空間的定義。
定理 2:設 V 是一個有限維向量空間,則 V 的任何生成集合 S 去掉一些向量(如果必要的話)可以簡化為 V 的一組基。
- 取 V 任意一組基(有限集),將這組基表示為 S 中一些向量的有限組合,只用到 S 中有限個向量,這有限個向量的生成集合包含這組基,從而包含 V,故第一步可將 S 簡化為有限集;如果 S 中向量不是線性無關的,則至少有一個向量能寫成其他向量的組合,去掉這個向量剩下的也能生成 V。繼續這個步驟直到剩下的向量集合線性無關,這便簡化為一組基了。
- 這也說明當 V 是有限維時,一組基是極小生成集合。
- 假設
是向量空間 V 中 n 個向量,那麼
![{\displaystyle {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1})={\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n})\Longleftrightarrow v_{n}\in {\rm {span}}(v_{1},\ldots ,v_{n-1}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0541382e612d9bb1f5fcd38b9be6252cb2dbf40d)
- n 個向量生成空間的維數不大於 n,等於 n 若且唯若這些向量線性無關。
- 假設
與
是向量空間
中兩個集合,則有:
![{\displaystyle S\subset S'\Rightarrow {\rm {span}}(S)\subset {\rm {span}}(S');}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b57ec8a080543235a50e47d16692cea40ea79c)
![{\displaystyle {\rm {span}}(S\cup S')={\rm {span}}(S)+{\rm {span}}(S').}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e98a3bfa4ab1aa2183030f9a3a3185e5c893352)