示性類

數學中，示性類是將X的主叢與X的上同調類相聯繫的一種方法。上同調類衡量了叢的「扭曲」程度，表徵叢是否有截面；示性類是一種全局拓撲不變量，衡量了局部積結構與全局積結構的偏差。它們是通用於代數拓撲、微分幾何與代數幾何的幾何概念之一。

示性類的概念源於1935年Eduard Stiefel與哈斯勒·惠特尼關於流形上向量場的研究。

定義

令G為拓撲群，對拓撲空間X，記${\displaystyle b_{G}(X)}$為X上主G叢的同構類集合。這個${\displaystyle b_{G}}$是從Top（拓撲空間與連續函數的範疇）到Set（集合與函數的範疇）的反變函子，將映射${\displaystyle f\colon X\to Y}$發送到拉回算子${\displaystyle f^{*}\colon b_{G}(Y)\to b_{G}(X)}$。

則主G叢的示性類c是${\displaystyle b_{G}}$到上同調函子${\displaystyle H^{*}}$的自然變換，也被視作到Set的函子。

也就是說，示性類將${\displaystyle b_{G}(X)}$中的每個主G叢${\displaystyle P\to X}$關聯到${\displaystyle H^{*}(X)}$中的一個元素${\displaystyle C(P)}$，這樣，若${\displaystyle f:\ Y\to X}$是連續映射，則${\displaystyle c(f^{*}P)=f^{*}c(P)}$。左側是${\displaystyle P\to Y}$的拉回類，右側是P的類在上同調誘導映射下的像。

示性數

示性類是上同調群的元素^[1]，可從示性類得到整數，稱作示性數。重要的示性數有Stiefel–惠特尼數、陳數、龐特里亞金數、歐拉性等等。

給定維度為n的有向流形M，其基本類${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$；G叢有示性類${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$，就可以把總度數為n的示性類與基本類的積匹配起來。不同示性數的個數是示性類中度為n的單項式個數，或等價於將n分成${\displaystyle {\mbox{deg}}\,c_{i}}$。

形式上，給定${\displaystyle i_{1},\dots ,i_{l}}$使${\displaystyle \sum {\mbox{deg}}\,c_{i_{j}}=n}$，對應的示性數是：

${\displaystyle c_{i_{1}}\smile c_{i_{2}}\smile \dots \smile c_{i_{l}}([M])}$

其中${\displaystyle \smile }$表示上同調類的上積。 它們有不同的記法，有的是示性類的積，如${\displaystyle c_{1}^{2}}$；${\displaystyle P_{1,1}}$表示與${\displaystyle p_{1}^{2}}$對應的龐特里亞金數，${\displaystyle \chi }$表示歐拉性。

從德拉姆上同調的角度來看，可以取代表示性類的微分形式，^[2]取楔積，從而得到頂維形式，然後在流形上積分；這類似於在上同調中取積，並與基本類匹配。

這也適於無向流形，有${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$向，這時可得${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$值的示性數，如Stiefel-惠特尼示性數。

示性數解決了有無向的配邊問題：若且唯若兩流形的示性數相等時，它們（分別有向或無向）是可配邊的（cobordant）。

動機

示性類是上同調論的現象，是凡反變構造，就像部分射是空間上的一種函數；而要從部分射的存在引出矛盾，我們確實需要方差。事實上，上同調是在同調與同倫論之後發展起來的，而它們都基於到空間的映射的協方差理論；示性類理論在1930年代的萌芽期（阻礙理論的一部分）是尋求同調的「對偶」理論的一個主要原因。基於示性類的曲率不變量方法是華北庫庫倫、證明一般高斯-博內定理的一個特殊原因。 1950年前後，這一理論被置於較有組織的基礎上時（定義被簡化為同倫論），當時已知的最基本示性類（Stiefel-惠特尼類、陳類、龐特里亞金類）很明顯都是經典線性群及其極大環面結構的反映。此外，陳類本身也不是新東西，它在格拉斯曼流形的舒伯特積分和代數幾何意大利學派的研究中都有所反映。另一方面，現在有了一個框架，只要涉及向量叢，就能產生示性類。

當時的主要機制似乎是：給定具有向量叢的空間X，則對相關線性群G，在同倫範疇中有從X到分類空間BG的映射。對同倫論來說，相關信息由緊子群（如G的正交群與酉群）承載。一旦上同調${\displaystyle H^{*}(BG)}$計算出來，上同調的反變性質就意味着叢的示性類將定義在同維度的${\displaystyle H^{*}(X)}$中。比如說陳類，實際上是在偶數維都有分次成分的示性類。

這仍然是經典的解釋，不過在給定的幾何理論中，考慮額外的結構總是有益的。1955年以來，隨着K-理論和配邊論的建立，上同調變得「非同尋常」，實際上只要在各處改換字母H，就能說明示性類是什麼。

後來人名發現了流形的葉狀結構的示性類，它們（在改進的意義上，對其中一部分允許奇點的葉狀結構）在同倫論中有分類空間理論。

在數學與物理學「和解」之後的工作中，西蒙·唐納森和Dieter Kotschick在瞬子理論中發現了新的示性類。陳省身的研究與觀點也十分重要，詳見陳-西蒙斯理論。

穩定性

用穩定同倫論的語言來說，陳類、Stiefel–惠特尼類、龐特里亞金類是穩定的，而歐拉類不穩定。

具體地說，穩定類是指在添加平凡叢時不發生變化的類：${\displaystyle c(V\oplus 1)=c(V)}$。更抽象地說，這意味着在包含${\displaystyle BG(n)\to BG(n+1)}$（對應包含${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n+1}}$等）之下，${\displaystyle BG(n)}$分類空間中的上同調類從${\displaystyle BG(n+1)}$中的上同調類拉回。等價地，所有有限示性類都從${\displaystyle BG}$中的穩定類拉回。

歐拉類的情況並非如此，這主要是因為k維叢的歐拉類存在於${\displaystyle H^{k}(X)}$（因此從${\displaystyle H^{k}(BO(k))}$拉回），所以不能從${\displaystyle H^{k+1}}$中的類拉回，因為維數不同。

另見

• 歐拉示性類
• 陳類

註釋

1. 非正式地說，示性類「生存」在上同調中。
2. 據陳-韋伊同態，這些都是曲率的多項式；據霍奇理論，可取調和形式。

參考文獻

• Chern, Shiing-Shen. Complex manifolds without potential theory. Springer-Verlag Press. 1995. ISBN 0-387-90422-0. ISBN 3-540-90422-0.

  The appendix of this book: "Geometry of characteristic classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.

• Hatcher, Allen, Vector bundles & K-theory, [2023-12-11], （原始內容存檔於2022-03-18）
• Husemoller, Dale. Fibre bundles 3rd Edition, Springer 1993. McGraw Hill. 1966. ISBN 0387940871.
• Milnor, John W.; Stasheff, Jim. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies 76. Princeton University Press, Princeton, NJ; University of Tokyo Press, Tokyo. 1974. ISBN 0-691-08122-0.