向量叢

向量叢(vector bundle)也翻譯成向量束，是數學，特別是幾何學，上的一種幾何結構，在空間 X（X 可以是拓撲空間、流形或代數簇）的每一點指定(或"黏上")一個向量空間(比如 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)，而這些向量空間「粘起來」又構成一個新的拓撲空間（或流形，或代數簇）。 在 X 之上的向量叢最簡單的例子是，X×${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，另一個較複雜的典型的例子是微分流形的切線束(tangent bundle)：對流形的每一點"黏"上流形在該點的切空間。 另一個例子是法叢：給定一個平面上的光滑曲線，可在曲線的每一點附上和曲線垂直的直線；這就是曲線的"法叢"。

向量叢定義中的向量空間主要常見的是實空間(${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)跟複空間(${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$)，分別稱作實向量叢跟複向量叢。複向量叢可以視為一種帶有附加結構的實向量叢。

向量叢是纖維叢的一種。

定義和直接的結果

一個實向量叢要包含下列空間跟映射：

• X（基空間(base space)）和E（全空間(total space)）為拓撲空間(或是流形等其他空間)
• 一個連續滿射 π : E → X（稱作投影）
• 對 X 中的每點 x，π⁻¹（{x}）是有限維的實向量空間(稱作纖維(fiber) )。

且這些空間跟映射要滿足以下相容性條件：對 X 中的每一點有一個開鄰域 ${\displaystyle U\subseteq X}$ 包含這點，一個自然數 n,和一個同胚

${\displaystyle \varphi \colon U\times \mathbf {R} ^{n}\to \pi ^{-1}(U)}$

使得對所有x ∈ U,:

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$ 對所有 v ∈ Rⁿ均成立
• 映射　${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$　是兩個向量空間 Rⁿ 和 π⁻¹(x) 之間的線性同構。

開鄰域U和同胚φ合起來叫做叢的局部平凡化。這表示映射π在局部看起來"像" U × Rⁿ到U 上的投影.

向量叢 X × Rⁿ 稱為平凡，如果賦予這空間一個投影映射　X × Rⁿ → X，也就是 E=X × Rⁿ 整體上是 X 的乘積空間 。

每個纖維π⁻¹（x）是一個有限維實向量空間，所以有在點 x 有一個維數d_x，由局部平凡化的性質可知函數　${\displaystyle \textstyle x\mapsto d_{x}}$ 在局部上是常數，也就是它在X　的每個連通的部份上為常數。如果它在X上是常數的話，我們把這個維數叫做向量叢的階。一階向量叢也叫線叢。

向量叢態射

一個從向量叢π₁ : E₁ → X₁到向量叢π₂ : E₂ → X₂的態射（morphism）是一對連續映射f : E₁ → E₂和g : X₁ → X₂使得

• gπ₁ = π₂f

• 對於每個X₁中的x,由f誘導的映射π₁⁻¹({x}) → π₂⁻¹({g(x)})是一個向量空間的線性轉換。

所有向量叢的類和叢的射組成了一個範疇。限制到光滑流形和光滑叢射，我們就有了光滑向量叢的範疇。

我們可以考慮有一個固定基空間X的所有向量叢組成的範疇。我們取那些在基空間X上為恆等映射（identity map）的射作為在這個範疇中的射. 也就是說，叢射滿足下面的交換圖：

（注意這個範疇不是可交換的；向量叢的射的核通常不能很自然的成為一個向量叢。）

截面和局部自由層

給定一個向量叢 π : E → X， 和 X 的開子集 U，我們可以考慮這個向量叢 在 U 上的截面，也就是連續函數 s : U → E 滿足 (π∘s)=id_U。本質上，截面在 U 的每一點指定一個向量，且這向量屬於在該點的纖維，即 s(x) ∈ π⁻¹（x) ，並且要求這種指定要有連續性(或可微性，依討論空間而有所不同)。

例如，微分流形的切線束的截面就是流形上的向量場("微分"流形上一般會要求向量場可微)。

令 F(U) 為U上所有截面的集合. F(U)中至少有個元素 s，稱作零截面(zero section)，這個截面函數 s 會把 U 的每一點 x 都映射到向量空間π⁻¹（x）中的零向量。使用每點的加法和數乘，F(U)本身也構成了向量空間。這些向量空間的總和就是 X 上的向量空間的層(shelf)。

若 s 屬於F(U) 而 α : U → R是 U 上的連續函數，則αs 依然屬於集合 F(U)。我們可以看到 F(U) 是一個 U 上的連續實值函數的環上的模，進一步講，若O_X表示X上連續函數的層結構，則F是O_X-模的一個層.

不是O_X-模的每個層都是以這種方式從向量叢的導的：只有局部自由層可以從這種方法得到。（理由：局部的，我們要找一個投影U × Rⁿ → U的一個截面，這些恰好是連續函數U → Rⁿ,並且這一函數是連續函數U → Rn-元組.）

更進一步講：X上的實向量叢的範疇是等價於O_X-模的局部自由和有限生成的層的。

所以我們可以將向量叢視為位於O_X-模的層的範疇內；而後者是可交換的，所以我們可以計算向量叢的射的核。

向量叢上的操作

兩個X上的在同一個域上的向量叢，有一個惠特尼和,在每點的纖維為那兩個叢的纖維的直積。同樣，纖維向量積和對偶空間叢也可以這樣引入。

變種和推廣

向量叢是纖維叢的特例。

光滑向量叢定義為滿足E和X是光滑流形，π : E → X是光滑映射，而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量叢。

把實向量空間換成複向量空間(complex vector space, 既純量為複數的向量空間)，就得到了複向量叢(complex vector bundle)。這是結構群的約化的特例。也可以用其他拓撲域上的向量空間，但相對比較少見。

除了有限維的向量空間以外，如果纖維是某個巴拿赫空間（而不僅是Rⁿ），就可以得到巴拿赫叢.

參考

• Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.