等價關係

在數學中，等價關係（英語：Equivalence relation）是具有自反性，對稱性，遞移性的二元關係。等價關係也稱為同值關係。一些等價關係的例子包括整數集上的同餘，. 歐幾里得幾何中的等量（英語：Equipollence），以及普通的相等關係。

集合${\displaystyle A}$上的每個等價關係都提供了一個${\displaystyle A}$的劃分，將${\displaystyle A}$劃分為不相交的等價類。${\displaystyle A}$中的兩個元素等價當且僅當它們屬於同一等價類。

定義

若集合${\displaystyle A}$上的二元關係${\displaystyle R}$滿足以下條件：

1. 自反性：${\displaystyle \forall x\in A,~~xRx}$
2. 對稱性：${\displaystyle \forall x,y\in A,~~xRy~~\implies ~~yRx}$
3. 遞移性：${\displaystyle \forall x,y,z\in A,~~~(xRy~~\wedge ~~yRz)~~\implies ~~xRz}$

則稱${\displaystyle R}$是一個定義在${\displaystyle A}$上的等價關係。習慣上會把等價關係的符號由${\displaystyle R}$改寫為${\displaystyle \sim }$。

事例

等價關係的例子

例如，設${\displaystyle A=\{1,2,\ldots ,8\}}$，定義${\displaystyle A}$上的關係${\displaystyle R}$如下：

${\displaystyle xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}}$

其中${\displaystyle x\equiv y{\pmod {3}}}$叫做${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$模3同餘，即${\displaystyle x}$除以3的餘數與${\displaystyle y}$除以3的餘數相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不難驗證${\displaystyle R}$為${\displaystyle A}$上的等價關係。

並非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：

• 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大（${\displaystyle n\ngtr n}$）
• 沒有對稱性：如果${\displaystyle m>n}$，就肯定不能有${\displaystyle n>m}$

不是等價關係的關係的例子

• 實數之間的"≥"關係滿足自反性和遞移性，但不滿足對稱性。例如，7 ≥ 5 無法推出 5 ≥ 7。它是一種全序關係。

參見

• 當且僅當
• 等價類
• 集合劃分
• 商集
• 分離關係（英語：Apartness relation）
• 共軛類
• 等距
• 拓撲共軛性（英語：Topological conjugacy）
• Up to

參考文獻

• Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
• Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
• Robert Dilworth（英語：Robert Dilworth） and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• John Randolph Lucas（英語：John Lucas (philosopher)）, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
• Raymond Wilder（英語：Raymond Wilder） (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Equivalence relation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bogomolny, A., "Equivalence Relationship （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
• Equivalence relation at PlanetMath
• Binary matrices representing equivalence relations （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at OEIS.