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態射(英語:Morphism)在數學中是指兩個數學結構之間保持結構的一種映射。
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許多當代數學領域中都有態射的身影。例如,在集合論中,態射就是函數;在群論中,它們是群同態;而在拓撲學中,它們是連續函數;在泛代數(universal algebra)的範圍,態射通常就是同態。
對態射和它們定義於其間的結構(或物件)的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中,態射不必是函數,而通常被視為兩個物件(不必是集合)間的箭頭。不像映射一個集合的元素到另外一個集合,它們只是表示域(domain)和對應域(codomain)間的某種關係。
儘管態射的本質是抽象的,多數人關於它們的直觀(事實上包括大部分術語)來自於具體範疇的例子,在那裏物件就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函數。
有兩個操作定義在每個態射上,域(domain,或源)和對應域(codomain,或目標)。
態射經常用從域到他們的對應域的箭頭來表示,例如若一個態射f域為X而對應域為Y,它記為f : X → Y。所有從X到Y的態射的集合記為homC(X,Y)或者hom(X, Y)。(有些作者採用MorC(X,Y)或Mor(X, Y))。
對於任意三個物件X,Y,Z,存在一個二元運算hom(X, Y)×hom(Y, Z) → hom(X, Z)稱為複合。f : X → Y和g : Y → Z的複合記為或gf(有些作者採用fg)。態射的複合經常採用交換圖來表示。例如
態射必須滿足兩條公理:
當C是一個具體範疇的時候,複合只是通常的函數複合,恆等態射只是恆等函數,而結合律是自動滿足的。(函數複合是結合的。)
注意域和對應域本身是決定態射的資訊的一部分。例如,在集合的範疇,其中態射是函數,兩個函數可以作為有序對的集合相等,但卻有不同的對應域。這些函數從範疇論的目的來說被視為不同。因此,很多作者要求態射類hom(X, Y)是不交的。實際上,這不是一個問題,因為如果他們不是不交的,域和對應域可以加到態射上,(例如,作為一個有序三元組的第二和第三個分量),使得它們不交(互斥,disjoint)。
注意每個同構都是雙同態,但不是每個雙同態都是同構。例如,交換環的範疇中,包含映射Z → Q是一個雙同態,但不是一個同構。如果在一個範疇中每個雙同態都是同構,則這個範疇稱為一個平衡範疇。例如,集合是一個平衡範疇。
更多的例子參看範疇論條目。
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