CW複形

CW複形，又稱胞腔複形，在拓撲學上屬於拓撲空間之一類，由J.H.C.懷特海德引入，用於同倫理論。其思想是構造一類空間，比單體複形更為廣泛（我們現在可以說，有更好的範疇論屬性）；但還要保留組合的本質，因此計算方面的考慮沒有被忽略。

形式表述

粗略地說，CW複形由稱作胞腔的基本元件組成。其精確定義規定胞腔如何在拓撲意義上「粘合」。CW複形名稱中的「C」代表「閉有限」（closure-finite），而「W」則代表「弱拓撲」（weak topology）。

單個 ${\displaystyle n}$ 維閉胞腔是指 ${\displaystyle n}$ 維閉球在貼映射下的像。例如，每個單體都是一個閉胞腔，或更一般地，每個凸多面體都是一個閉胞腔。單個 ${\displaystyle n}$ 維開胞腔則是一個同胚於 ${\displaystyle n}$ 維開球的拓撲空間。零維的開（或閉）胞腔是指一個單元素空間。而「閉有限」條件要求每個閉胞腔都可由有限個開胞腔所覆蓋。

CW複形是一個郝斯多夫空間 ${\displaystyle X}$，連同一個將 ${\displaystyle X}$ 劃為開胞腔（維度不必統一）的劃分，並滿足以下性質：

• 對 ${\displaystyle X}$ 的劃分中的任意一個 ${\displaystyle n}$ 維開胞腔 ${\displaystyle C}$，存在一個從 ${\displaystyle n}$ 維閉球到 ${\displaystyle X}$ 的連續映射 ${\displaystyle f}$，使得：
  • ${\displaystyle f}$ 限制在閉球的內部上是到胞腔 ${\displaystyle C}$ 的同胚，且
  • 閉球的邊界在 ${\displaystyle f}$ 下的像包含於 ${\displaystyle X}$ 的劃分中的有限個維度小於 ${\displaystyle n}$ 的元素的併集內。
• ${\displaystyle X}$ 的閉子集即是與每一個開胞腔交於閉集（相對於開胞腔本身的拓撲）的集合（${\displaystyle X}$ 的拓撲為所有開胞腔的並的弱拓撲）。

相對CW複形

籠統地說，相對CW複形與CW複形的區別在於它容許一個額外的、不須帶有任何胞腔結構的組件。遵照上文的定義，這個組件被視作負一維胞腔。^[1][2][3]

CW複形的歸納法定義

如果一個CW複形中胞腔的維度最大為 ${\displaystyle n}$，那麼我們稱這個CW複形是 ${\displaystyle n}$ 維的。若胞腔的維度沒有上限，那麼我們說這個CW複形是無窮維的。CW複形的 ${\displaystyle n}$ 維骨架是指所有維度不超過 ${\displaystyle n}$ 的胞腔的並。如果這個併集是閉集，那麼它本身就是一個CW複形，稱為原複形的子複形。因此，CW複形的 ${\displaystyle n}$ 維骨架是維度不超過 ${\displaystyle n}$ 的最大子複形。

CW複形常常由其各個維度上的骨架通過歸納來定義。首先定義0維骨架為離散空間。緊接着將1維胞腔黏着到0維骨架上。這一步先將每個1維胞腔先視作1維閉球，然後通過某個從這個閉球的邊界——即0維球面 ${\displaystyle S^{0}}$ ——到0維骨架的連續影射貼合。${\displaystyle S^{0}}$ 上的每一點都與其在該映射下的像與0維骨架上的某一點等同；這構成一個等價關係。如此，1維骨架就定義成0維骨架和所有1維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。

概括而言，給定 ${\displaystyle (n-1)}$ 維骨架，${\displaystyle n}$ 維骨架是由在此基礎上黏着 ${\displaystyle n}$ 維胞腔得到。每個 ${\displaystyle n}$ 維胞腔同樣先視作 ${\displaystyle n}$ 維閉球，然後通過某個從這個閉球的邊界——即 ${\displaystyle (n-1)}$ 維球面 ${\displaystyle S^{n-1}}$ ——到 ${\displaystyle (n-1)}$ 維骨架的連續影射貼合。${\displaystyle S^{n-1}}$ 上的每一點都與其在該映射下的像與 ${\displaystyle (n-1)}$ 維骨架上的某一點等同；這同樣構成一個等價關係。這樣，${\displaystyle n}$ 維骨架就定義成 ${\displaystyle (n-1)}$ 維骨架和所有 ${\displaystyle n}$ 維胞腔的並、再模去此等價關係後的商空間。

在同構意義上，每個 ${\displaystyle n}$ 維CW複形都可依此由其 ${\displaystyle (n-1)}$ 維骨架構造而成，因此每個有限維CW複形都能按以上方法構造。甚至對於無窮維CW複形也成立，只要藉助拓撲空間的歸納極限來描述以上無窮過程的結果，這個結論也是對的：在極限的集合 ${\displaystyle X}$ 中，子集是閉集當且僅當它與每一個骨架都交於閉集（相對於骨架本身的拓撲）。

例子

• 實數集 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的標準CW結構中的0維骨架為整數集 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$，而1維胞腔則是區間 ${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$ 。相似地，在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的標準CW結構中的胞腔是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的0維和1維胞腔的積。
• 多面體帶有自然的CW複形結構。
• 圖是一維CW複形。
• 無窮維希爾伯特空間不是CW複形：它是一個貝爾空間（見貝爾綱定理），因此不能寫成其 ${\displaystyle n}$ 維骨架的並，因每個骨架都是閉集且內部為空。這個論證也可引申到許多無窮維空間。
• ${\displaystyle n}$ 維球面容許一個只有兩個胞腔的CW結構：一個0維胞腔和一個 ${\displaystyle n}$ 維胞腔，依靠從 ${\displaystyle S^{n-1}}$ 到0維胞腔的常映射黏着。另外一個替代的胞腔分解也很受歡迎，因赤道包含映射 ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n}}$ 的補集恰好是兩個球：上半球和下半球。由歸納法可得 ${\displaystyle S^{n}}$ 的一個CW分解，每個維度 ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ 上恰好有兩個 ${\displaystyle k}$ 維胞腔。
• ${\displaystyle n}$ 維實射影空間容許一個CW結構，每個維度 ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ 上恰好有一個 ${\displaystyle k}$ 維胞腔。
• 格拉斯曼流形容許一個CW結構，其胞腔稱作舒伯特胞腔.
• 微分流形、代數和射影簇都同倫於CW複形。
• 空間 ${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subset \mathbb {C} }$ 同倫於CW複形（甚至是可收縮的），但不容許任何CW結構，因其不是局部可收縮的。
• 夏威夷耳環（英語：Hawaiian earring）是不同倫於CW的拓撲空間的一例。

CW複形的同調與餘調

CW複形的奇異同調（或餘調）可以通過胞腔同調計算。此外，在CW複形和胞腔映射的範疇內，胞腔同調可以解讀成一種同調論。如要計算CW複形的廣義（上）同調，阿提亞-希策布魯赫（英語：Atiyah–Hirzebruch spectral sequence）譜序列是胞腔同調的一個類比。

以下是一些計算的實例：

• 對於球面 ${\displaystyle S^{n}}$，取只帶有一個0維胞腔和一個 ${\displaystyle n}$ 維胞腔的分解。胞腔鏈複形 ${\displaystyle C_{*}}$ 與同調皆為

${\displaystyle H_{k}=C_{k}=\left\{{\begin{array}{lr}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{array}}\right.}$

因為所有微分算子皆為零（實際上，餘鍵複形與餘調亦然）。或者，如果我們取赤道分解，使得每個維度上各有兩個胞腔，那麼

${\displaystyle C_{k}=\left\{{\begin{array}{lr}\mathbb {Z} ^{2}&0\leq k\leq n\\0&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$

而微分算子是形為 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}}$ 的矩陣。這個複形給出的同調與以上計算一致，因為複形在除 ${\displaystyle C_{0}}$ 與 ${\displaystyle C_{n}}$ 項外都是正合的。

• 對於複射影空間 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\mathbb {C} }$，可以相似地算得

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {P} ^{n}\mathbb {C} )={\begin{cases}\mathbb {Z} \quad {\text{for }}0\leq k\leq 2n,{\text{even}}\\0\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

之所以這兩例中計算都尤其簡單，是因為同調完全由胞腔數目確定——換言之，胞腔的黏着映射在計算中沒有扮演任何角色。這個現象只是特例，在一般情況下並不成立。

同倫範疇

在某些專家眼中，CW複形的同倫範疇即使不是唯一的同倫範疇（基於技術原因，實際使用的版本是帶基點的空間），也是同倫範疇的最佳候選。^[4]因此，可能會得出非CW複形的空間的輔助構造需儘量避免。在這方面的基本結論是布朗可表性定理：同倫範疇上的可表函子可以藉助CW複形來相當精簡地刻畫。

性質

• CW複形是局部可收縮的。
• CW複形滿足懷特黑德定理：CW複形之間的映射是同倫等價當且僅當在所有同倫群上都誘導出同構。
• 兩個CW複形的積可以轉化成一個CW複形。具體而言，設 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 為CW複形，那麼 ${\displaystyle X\times Y}$ 上容許一個CW複形的結構，其胞腔即 ${\displaystyle X}$ 中的胞腔與 ${\displaystyle Y}$ 中胞腔的積，並配備弱拓撲。不出所料，這個新的CW複形的底集合就是 ${\displaystyle X\times Y}$ 本身。此外，多數情況下弱拓撲與 ${\displaystyle X\times Y}$ 上的積拓撲一致，例如當 ${\displaystyle X}$ 或 ${\displaystyle Y}$ 之一是有限CW複形（或更一般地，當它們之一是局部有限的，也即在每個維度它有有限個胞腔）。然而，如果 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 皆非局部緊，弱拓撲可能比積拓撲更精細。在這種不利的情形下，兩個複形的積（作為拓撲空間） ${\displaystyle X\times Y}$ 不是一個CW複形。另一方面，${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 在緊生成空間範疇中的積的拓撲與弱拓撲一致，因此確實定義出一個CW複形。
• 設 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 為CW複形。函數空間 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ （帶緊緻開拓撲）一般不是CW複形。若 ${\displaystyle X}$ 是有限CW複形，那麼 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ 同倫等價於一個CW複形；這是由於約翰·米爾諾的一個定理 (1959)。^[5] 注意到 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 都是緊生成郝斯多夫空間，因此 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ 常常取其緊生成的變種；以上結論對於這個變種仍然成立。^[6]
• CW複形的覆疊空間也是CW複形。
• CW複形是仿緊空間，而有限CW複形是緊空間。CW複形的緊子空間必定包含於一有限子複形內。^[7][8]

參考文獻

註釋

1. Davis, James F.; Kirk, Paul. Lecture Notes in Algebraic Topology. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2001.
2. 存档副本. [2016-05-29]. （原始內容存檔於2016-05-06）.
3. 存档副本. [2016-05-29]. （原始內容存檔於2015-12-20）.
4. 例如，Baladze, D.O., CW-complex, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4聲稱"The class of CW complexes (or the class of spaces of the same homotopy type as a CW complex) is the most suitable class of topological spaces in relation to homotopy theory"
5. Milnor, John, "On spaces having the homotopy type of a CW-complex （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）" Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 272–280.
6. Compactly Generated Spaces (PDF). [2016-05-29]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-03）.
7. Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0. 免費電子版本可見作者的網站 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。
8. Hatcher, Allen, Vector bundles and K-theory, 初步版本可見於作者的網站 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

綜合參考

• Whitehead, J. H. C. Combinatorial homotopy. I.. Bull. Amer. Math. Soc. 1949a, 55 (5): 213–245 [2016-05-29]. MR 0030759. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09175-9. （原始內容存檔於2016-05-29）. (open access)
• Whitehead, J. H. C. Combinatorial homotopy. II.. Bull. Amer. Math. Soc. 1949b, 55 (3): 453–496 [2016-05-29]. MR 0030760. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09213-3. （原始內容存檔於2016-05-29）. (open access)
• Hatcher, Allen. Algebraic topology. Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-79540-0. 該教材在第一章定義了CW複形，且對它們的使用貫穿全書；書末有一節關於CW複形的拓撲的附錄。免費電子版本可見作者的網站（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。
• Lundell, A. T.; Weingram, S. The topology of CW complexes. Van Nostrand University Series in Higher Mathematics. 1970. ISBN 0-442-04910-2.
• Brown, R.; Higgins, P.J.; Sivera, R. Nonabelian Algebraic Topology:filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. European Mathematical Society Tracts in Mathematics Vol 15. 2011. ISBN 978-3-03719-083-8. 更多細節請見第一作者的網站（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）