高斯-博內定理

在微分幾何中，高斯-博內定理（亦稱高斯-博內公式）是關於曲面的圖形（由曲率表徵）和拓撲（由歐拉示性數表徵）間聯繫的一項重要表述。它是以卡爾·弗里德里希·高斯和皮埃爾·奧西安·博內命名的，前者發現了定理的一個版本但從未發表，後者1848年發表了該定理的一個特例。

適用高斯-博內定理的複雜區域的一個例子。標示了測地曲率。

定理內容

設${\displaystyle M}$是一個緊的二維黎曼流形，${\displaystyle \partial M}$是其邊界。令${\displaystyle K}$為${\displaystyle M}$的高斯曲率，${\displaystyle k_{g}}$為${\displaystyle \partial M}$的測地曲率。則有

${\displaystyle \int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,}$

其中dA是該曲面的面積元，ds是M邊界的線元。此處${\displaystyle \chi (M)}$是${\displaystyle M}$的歐拉示性數。

如果${\displaystyle \partial M}$的邊界是分段光滑的，我們將${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\;ds}$視作光滑部分相應的積分之和，加上光滑部分在曲線邊界上的轉過的角度之和。

參看

• 陳-高斯-博內定理

外部連結

• 高斯-博內定理 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）