冪零矩陣

冪零矩陣（英語：nilpotent matrix）是一個n×n的方塊矩陣M，滿足以下等式：

${\displaystyle M^{q}=0\,}$

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

對於某個正整數q。類似地冪零變換是一個線性變換L，滿足${\displaystyle L^{q}=0}$對於某個整數q。

冪零矩陣是冪零元──一個更加一般的概念的特殊情況，不僅可以應用於矩陣和線性變換，也可以應用於環的元素。

例子

考慮以下的矩陣：

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

這是一個4×4的冪零矩陣的例子（實際上，這種形式的矩陣稱為轉移矩陣）。注意非零的超對角線。這個矩陣的特徵為：

${\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

超對角線不斷向右上角「移動」，直到完全消失，得到零矩陣。

對應的冪零變換L : R⁴ → R⁴由下式定義：

${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0)\ }$

有一個分類定理證明這是典型的：冪零矩陣與分塊矩陣是相似的，其對角線上的區塊推廣了這種類型，而其它區塊為零。

性質

設M為n×n的冪零矩陣。

• 滿足M^q = 0的最小整數q小於或等於n。
• 在代數封閉域上，矩陣M是冪零的，當且僅當它的所有特徵值為零。因此，M的行列式和跡都為零，所以冪零矩陣必為奇異方陣。
• 假設A和B是兩個矩陣。如果A是可逆矩陣，則${\displaystyle A^{-1}B}$是冪零矩陣，當且僅當${\displaystyle \det(A+tB)}$與t無關。這是因為：

${\displaystyle \det(A+tB)=\det A\cdot \det(I+tA^{-1}B)=\det A\cdot \prod _{k}(1+\lambda _{k}t)}$

其中${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$是${\displaystyle A^{-1}B}$的特徵值。

• M的特徵多項式為λⁿ。
• 每一個嚴格的上三角矩陣或下三角矩陣都是冪零矩陣。
• 每一個奇異方陣都可以寫成若干個冪零矩陣的乘積。^[1]

分類定理

以上的例子是典型的，這是因為以下的結果。每一個冪零矩陣都與以下的分塊矩陣相似：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}}}$

其中區塊${\displaystyle N_{i}}$在超對角線上為一，在其它地方為零：

${\displaystyle N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}}$

這可以從若爾當標準形，以及每一個與冪零矩陣相似的矩陣也是冪零的事實推出。

參考文獻

1. R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

外部連結

• PlanetMath上的冪零矩陣 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）和冪零變換 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。