大數 (數學)

大數是指遠遠超出了日常生活使用範圍（例如簡單的計數或金融交易）的數字，在各個領域都發揮着至關重要的作用。這些龐大的數量在數學、宇宙學、密碼學和統計力學中占有重要地位。雖然它們通常表現為較大的正整數，但它們也可以在不同情況下呈現其他形式（例如P進數）。大數學（英語：Googology）^[1]深入研究了這些巨大數字實體的命名約定和屬性。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

表示法

科學計數法

大數字通常採用科學計數法計數，即把數字記成ɑ×10ⁿ形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000寫作5.9×10⁴等。

分級法

參見：數量級 (數)和大數名稱

數量級	中文萬進制	短級差 (美國, 東歐, 加拿大和 澳大利亞英語 以及現代英語)	長級差 (西歐中歐和加拿大法語 以及老式英語)
101	十	Ten
102	百	Hundred
103	千	Thousand
104	萬
106	百萬	Million
108	億
109	十億	Billion	Milliard
1012	兆 [2]	Trillion	Billion
1015	千兆	Quadrillion	Billiard
1016	京
1018	百京	Quintillion	Trillion
1020	垓
1021	十垓	Sextillion
1024	秭	Septillion	Quadrillion
1027	千秭	Octillion
1028	穰
1030	百穰	Nonillion	Quintillion
1032	溝
1033	十溝	Decillion
1036	澗	Undecillion	Sextillion
1039	千澗	Duodecillion
1040	正
1042	百正	Tredecillion	Septillion
1044	載
1045	十載	Quattuordecillion
1048	極	Quindecillion	Octillion
1051	千極	Sexdecillion
1052	恆河沙
1054		Septendecillion	Nonillion
1056	阿僧祇
1057		Octodecillion
1060	那由他	Novemdecillion	Decillion
1063		Vigintillion
1064	不可思議
1066		Unvigintillion	Undecillion
1068	無量
1069		Duovigintillion
1072	大數	Tresvigintillion	Duodecillion
1075		Quattuorvigintillion
1078			Tredecillion
1084			Quattuordecillion
1090			Quindecillion
1093		Trigintillion
1096			Sexdecillion
10100	古戈爾（Googol)
10102			Septendecillion
10108			Octodecillion
10114			Novemdecillion
10120			Vigintillion
10123		Quadragintillion
10153		Quinquagintillion
10180			Trigintillion
10183		Sexagintillion
10213		Septuagintillion
10243		Octogintillion
10273		Nonagintillion
10303		Centillion
10600			Centillion
103003		Millinillion[3]
106000			Millinillion
1010100	古戈爾普勒克斯（Googolplex)
101010100	Googolplexian

著名的大數

• googol（果戈爾、古高爾）

美國數學家愛德華·卡斯納（Edward Kasner）在1940年創造，代表10¹⁰⁰（1後面接100個0，按數位念作「一萬億億億億億億億億億億億億」，一萬後念12個「億」）

• googolplex（果戈爾普萊克斯、古戈爾普勒克斯）

表示10的一個古戈爾次冪，即10¹⁰¹⁰⁰（1後面接10¹⁰⁰個0）。

• 斯奎斯數（英語：Skewes' number）

表示素數計數函數與對數積分函數交叉點的數值上界，斯奎斯於1933年證明了其中一個上界，又被稱作第一斯奎斯數：

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}}$（左為準確值，右為近似值）。

• 葛立恆數（簡稱G64，因為必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來）

• TREE(3)（英語：TREE(3)）

• 拉約數（英語：Rayo's number）

大數記號

雖然在現實世界中，使用指數來表示大數就已經綽綽有餘，但是在少數的數學問題中會用到的大數，如葛立恆數，仍然是不能用指數來表示的。為了表達這樣的大數，數學家們想出了以下記號：

• 高德納箭號表示法多層嵌套的指數塔，是一個簡單的符號。
• 超運算按照加法、乘法和冪的遞迴模式來構造更高級的運算，本質上跟箭號表示法是一樣的。
• 康威鏈式箭號表示法這種記號是箭號表示法的一種延伸，它能夠表示遠遠超出葛立恆數的數。
• 斯坦豪斯-莫澤表示法透過多邊形來表示大數。
• 超階乘是階乘的一個擴展。
• 阿克曼函數是一個二元函數，增長率非常快，跟高德納箭號表示法是同一個等級。
• 旋轉箭號表示法它是箭號表示法跟鏈式箭號表示法的延伸，並且所能構造的大數比它們更大。
• BEAF就算是開頭的線性數陣等級，也遠遠超越了上面的大多數記號。
• SUPER它是上面線性數陣的延伸，能夠構造出遠遠大於上面線性數陣的超級大數。

大數表示發展史

大數的表示最早在古希臘數學家阿基米德開始，他在理論上提出了一種表示大數的方法，但他是否創設了適當的符號不得而知。在他的著作《論數沙》中有這樣一段文字：

有人認為，無論是在敘拉古城，還是在整個西西里島或者在世界上有人煙和沒有人跡的地方，沙粒的數目都是無窮的；也有人認為沙粒的數目不是無窮的『但是想表示沙子的數目是辦不到的……但是，我要告訴大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那麼大地方的沙粒的數目，甚至還能表示把所有的海洋和洞穴都填滿了沙粒，這些沙粒總數不會超過1後面有100個零。

在這段文字中，「1後面連續有100個零」即10¹⁰⁰。^[4]

參考文獻

1. 曹知秋. 大数理论 (PDF). ISBN 9787230134729.
2. 目前對「兆應該表示幾」有爭議。在《中華人民共和國法定計量單位》的國際單位制詞頭中，代表一百萬（10⁶）的詞頭mega被翻譯成「兆」。台灣的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》中，代表一萬億（10¹²）的詞頭tera被翻譯成「兆」。在中國大陸官方的《新華字典》中，「兆」的定義是「①百萬②古代指萬億」。
3. Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始內容存檔於2020-11-06）. Extract of page 20 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
4. 徐品方 張紅. 数学符号史. 科學出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中國大陸））.