單純集合

數學裡，單純集合（simplical set）是範疇同倫論中一個構造，這是「良態」拓撲空間的一個純代數模型。歷史上，這個模型源自組合拓撲學特別是單純復形。

引言

拓撲空間可從單形以及它們的接合關係（或準確地說表示為差一個同倫）構造出來，單純集合是抓住這一點的範疇（即純代數）模型。這類似於拓撲空間的 CW復形模型，本質區別是單純集合是純代數的，本身不帶任何拓撲（這在給出正式定義後將見到）。

為了得到真正的拓撲空間，有一個幾何實現函子，取值於緊生成豪斯多夫空間範疇。同倫論中絕大多數關於 CW 復形的結論有類似的單純復形版本，推廣了這些結論。儘管代數拓撲學家大多數仍堅持使用 CW 復形，越來越多的研究者對將單純集合應用於代數幾何學感興趣，在代數幾何中 CW 復形不是自然存在的。

正式定義

使用範疇論語言，一個單純集合 X 是一個反變函子

X: Δ → Set

這裡 Δ 表示單純範疇，其對象是有限字符串或如下形式的序數

0 → 1 → ... → n

（換句話說，非空全序有限集合），而態射是它們之間的保序函數，Set 是小集合範疇。

通常定義單純集合為從反範疇出發的共變函子

X: Δ^op → Set

這顯然等價於上一個定義。

或者，我們可以將一個單純集合想象為 Set 範疇中的一個單純對象，不過這只是如上定義的另一種說法。如果我們使用反變函子 X，則得到了余單純集合的定義。

單純集合組成一個範疇，通常記做 sSet 或 S，其對象是單純集合，態射是他們之間的自然變換。對余單純集合也有相應的範疇，記做 cSet。

這些定義來自於範疇 Δ 中施加到面映射與退化映射上條件的關係。

面映射與退化映射

在 Δ^op 內，有兩類特別重要的映射稱為面映射與退化映射，他們抓住了單純集合的組合性質。

面映射 d_i : n → n − 1 如下給出

d_i (0 → … → n) = (0 → … → i − 1 → i + 1 → … → n).

退化映射 s_i : n → n + 1 如下給出

s_i (0 → … → n) = (0 → … → i − 1 → i → i → i + 1 → … → n).

由定義，這些映射滿足如下單純恆等式：

1. d_i d_j = d_j−1 d_i 如果 i < j
2. d_i s_j = s_j−1 d_i 如果 i < j
3. d_j s_j = id = d_j+1 s_j
4. d_i s_j = s_j d_i−1 如果 i > j + 1
5. s_i s_j = s_j+1 s_i 如果 i ≤ j.

單純範疇 Δ 的態射為單調不減函數。於是這些映射由去掉或添加一個元素組成，上如具體關係強調了拓撲應用。可以證明這些關係是充分的。

標準 n-單形與單形範疇

範疇中 標準 n-單形，記做 Δⁿ，是函子 hom(-, n) 這裡 n 表示開始 (n+1) 個非負整數字符串 0 → 1 → ... → n，而 hom 集合在範疇 Δ 上取。在一些教材中，卻記做 hom(n,-) 這裡 hom 集合理解成取於反範疇 Δ^op[1]。

集合實現 |Δⁿ| 定義為一般位置的標準拓撲 n-單形

${\displaystyle |\Delta ^{n}|=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}.}$

由米田引理，單純集合 X 的 n-單形由自然變換hom(Δⁿ, X) 刻畫^[2]。從而 X 的 n-單形記做 X_n。進一步，存在一個單形範疇，記做 ${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$ 其對象是映射 Δⁿ → X，態射是由在 Δ 中的 n → m 給出 X 上的自然變換 Δ^m → Δⁿ。如下同態指出單純集合 X 是其單形的余極限^[3]：

${\displaystyle X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}}$

這裡余極限在 X 的單形範疇上取。

幾何實現

有一個叫做幾何實現的函子 |•|: S → CGHaus，將一個單純集合 X 映為緊生成豪斯多夫拓撲空間範疇中對應的實現。

這個較大的範疇用於這個函子的靶是因為，特別地，單純集合的乘積

${\displaystyle X\times Y}$

實現為對應拓撲空間的實現

${\displaystyle |X|\times _{Ke}|Y|}$，

其中 ${\displaystyle \times _{Ke}}$ 表示凱萊空間乘積（Kelley space product）。為了定義實現函子，我們首先定義它在 n-單形 Δⁿ 上為對應的拓撲 n-單形 |Δⁿ|。該定義自然擴張到任何單純集合：

|X| = lim_{Δⁿ → X} |Δⁿ|

這裡余極限取在 X 的 n-單形。幾何實現函子在 S 上有函子性。

空間的奇異集合

一個拓撲空間 Y 的奇異集合是如下單純集合，對每個對象 n ∈ Δ，S(Y): n → hom(|Δⁿ|, Y)，態射上賦予明顯的函子條件。這個定義類似於單純拓撲中的通過標準拓撲 n-單形研究一個拓撲空間的想法。另外，奇異函子 S 右伴隨於上面所說的幾何實現函子：

hom_Top(|X|, Y) ≅ hom_S(X, SY)

對任何單純集合 X 與任何拓撲空間 Y。

單純集合的同倫論

在單純集合範疇中，可以定義纖維化為闞纖維化。單純集合的一個映射定義為弱等價如果其幾何實現是空間的弱等價。單純集合的一個映射定義為上纖維化如果它是單純集合的一個單態射。丹尼爾·奎倫的一個艱深的定理說具有這三類態射的單純集合範疇滿足真閉單純模型範疇的公理。

此理論的一個重要轉折點是闞纖維化的幾何實現是空間的塞爾纖維化。以空間上的模型結構為基礎，利用標準同倫抽象廢話可以發展一套單純集合的同倫論。進一步，集合實現與奇異函子給出閉模型範疇之間的一個奎倫等價，這包含了單純集合的同倫論與 CW 復形的通常同倫論之間的等價：

|•|: Ho(S) ↔ Ho(Top) : S.

單純對象

範疇 C 中的一個單純對象 X 是一個反變函子

X: Δ → C

或等價地共變函子：

X: Δ^op → C

當 C 是集合範疇，我們討論的就是單純集合。設 C 是群範疇或阿貝爾群範疇，我們分別得到單純群範疇和單純阿貝爾群範疇。

單純群與單純阿貝爾群也帶有由底單純集合誘導的閉模型結構。

單純阿貝爾群的同倫群可由都德-闞對應（英語：Dold-Kan correspondence）給出，它誘導了單純阿貝爾群與有界鏈復形兩個範疇之間的等價，這個等價關係由函子：

N: sAb → Ch₊

與

Γ: Ch₊ → sAb

給出。

注釋

1. May 1967, p14
2. 特別地，考慮 ${\displaystyle \Delta ^{n}=\Delta ^{\mathrm {op} }(\mathbf {n} ,-)}$，則米田引理給出 ${\displaystyle \mathrm {Nat} (\Delta ^{\mathrm {op} }(\mathbf {n} ,-),X)\cong X(\mathbf {n} )}$
3. Goerss & Jardine, p.7

參考文獻

• Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1999, ISBN 978-3-7643-6064-1
• J. Peter May. Simplicial objects in algebraic topology. Van Nostrand, 1967. 1982. ISBN 0-226-51180-4.

外部連結

• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (An elementary introduction to simplicial sets).