單純復形

單純復形（英語：Simplicial complex）是拓撲學中的概念，指由點、線段、三角形等單純形「粘合」而得的拓撲對象。單純復形不應當與範疇同倫論中的單純集合混淆。

一個3維單純復形

定義

單純復形${\displaystyle {\mathcal {K}}}$是由一組單純形構成的集合，並且須要滿足下列條件^[1]:119：

1. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$的每一個單純形的面都是${\displaystyle {\mathcal {K}}}$中的元素。
2. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$中任何兩個元素${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\;\in {\mathcal {K}}}$的交集是它們公有的一個面。

需要注意的是，約定空集是任何單純形的面，所以兩個不相交的單純復形也可以被看作是一個單純復形。通常的定義中，單純復形是有限個單純形的集合。但有些上下文中，也會在附加某些局部有限性條件的前提下，定義無限個單純形依照類似的定義構成的單純復形^[1]:120。

如果某個單純復形${\displaystyle {\mathcal {K}}}$中包含的最大維度的單純形是k維單純形，則稱${\displaystyle {\mathcal {K}}}$為k維單純復形^[1]:120。例如2維單純復形中必然含有三角形，且必然不含有四面體等更高維度的單純形。

如果某個k維單純復形${\displaystyle {\mathcal {K}}}$中，任何維數小於k的單純形都只是某個k維單純形的一個面，則稱${\displaystyle {\mathcal {K}}}$是純k維單純復形或齊次k維單純復形。這個定義是指沒有「混雜」多種單純形的單純復形。比如齊次2維單純復形是指由「一連串」的三角形拼接成的單純復形。齊次3維單純復形則是由「一連串」的四面體拼接成的單純復形。如果某個單純復形由一個三角形、一個四面體和兩個線段拼接而成，則不是齊次的單純復形。

單純復形${\displaystyle {\mathcal {K}}}$中的極大面，指的是不屬於${\displaystyle {\mathcal {K}}}$中另一個維數更高的單純形的面。比如在齊次3維單純復形中，每個四面體都是極大面，而其中的三角形或線段都不是極大面。

一個單純復形中含有的各種單純形的集合，也稱為它的底材空間或支持空間。

參見

• 單純形
• CW-單純復形

參考來源

1. Ethan D. Bloch. A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Springer. 1997. ISBN 9780817638405.