全序關係

全序關係，也稱為線性順序（英語：Total order, linear order）即集合${\displaystyle X}$上的反對稱的、傳遞的和完全的二元關係（一般稱其為${\displaystyle \leq }$）。

若${\displaystyle X}$滿足全序關係，則下列陳述對於${\displaystyle X}$中的所有${\displaystyle a,b}$和${\displaystyle c}$成立：

• 反對稱性：若${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle b\leq a}$則${\displaystyle a=b}$
• 傳遞性：若${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle b\leq c}$則${\displaystyle a\leq c}$
• 完全性：${\displaystyle a\leq b}$或${\displaystyle b\leq a}$

滿足全序關係的集合叫做全序集合、線性序集合、簡單序集合或鏈。 鏈還常用來描述偏序集合的全序子集。

全序關係的完全性可以如下這樣描述：集合中的任何一對元素都是可相互比較的。

注意完全性條件蘊涵了自反性：${\displaystyle a\leq a}$，因此全序關係也是（滿足「完全性」條件的）偏序關係。

嚴格全序

對於每一（非嚴格）全序關係≤都有一關聯的非對稱的嚴格全序關係<，它可以用以下兩種等價的方式定義：

• ${\displaystyle a<b}$當且僅當${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle a\neq b}$
• ${\displaystyle a<b}$當且僅當${\displaystyle \neg (b\leq a)}$（即${\displaystyle >}$為${\displaystyle \leq }$的逆補關係）

性質：

• 傳遞性：${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle b<c}$蘊涵${\displaystyle a<c}$。
• 三一性：${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle b<a}$和${\displaystyle a=b}$中有且僅有一個成立。
• 弱序性：其中關聯的等價是相等的。

我們可以通過指定${\displaystyle <}$為三分二元關係，用這兩種等階的方式來定義全序${\displaystyle \leq }$：

• ${\displaystyle a\leq b}$當且僅當${\displaystyle a<b}$或${\displaystyle a=b}$
• ${\displaystyle a\leq b}$當且僅當${\displaystyle \neg (b<a)}$

另兩個關聯的關係是補關係${\displaystyle \geq }$和${\displaystyle >}$，它們構成了四元組${\displaystyle \{<,>,\leq ,\geq \}}$。

我們可以用這四個關係中的任何一個來定義全序集，符號指明了全序集的嚴格性。

例子

• 字典序的字母表，比如${\displaystyle A<B<C}$等等。
• 全序集的任何保持原次序不變的子集。
• 滿足完全性的偏序集。
• 基數或序數集（嚴格地說，它們都是良序集）。
• 若${\displaystyle X}$為任何集合，${\displaystyle f}$為${\displaystyle X}$到一全序集的單射，則${\displaystyle f}$誘導${\displaystyle X}$為${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$當且僅當${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$的全序集。
• 有序數的全序集的直積的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何單詞表——長為${\displaystyle n}$的單詞可視為字母表集合的直積自乘${\displaystyle n}$次所得結果集合中的元素。
• 擁有小於（${\displaystyle <}$）和大於關係（${\displaystyle >}$）的實數集是全序的，因此其子集（自然數集、整數集、有理數集等）均為全序集。
  • 自然數集是最小的無上界全序集。
  • 整數集是最小的無界全序集。
  • 有理數集是最小的無界稠密全序集。
  • 實數集是最小的無界連通全序集。

參見

• 二元關係
• 偏序關係

引用

• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4