模型範疇

在數學、尤其是同倫論中，模型範疇是帶有弱等價、纖維化和上纖維化這三類態射的範疇，是從傳統的拓撲空間或鏈復形的同倫範疇（即導出範疇）中抽象化得來。模型範疇的概念最初由丹尼爾·奎倫引入。

近年來，模型範疇的語言應用到了代數K理論和代數幾何的部分研究中。在這些分支中，使用同倫論的研究方法得出過深刻的結果。

動機

模型範疇提供了研究同倫論的一個自然的環境：拓撲空間的範疇就是一個模型範疇，其中同倫正是一般意義上的同倫。相似地，許多可以視為拓撲空間的對象也往往帶有模型範疇結構，例如單純集合的範疇。

另一個模型範疇是R-模的鏈復形，其中R 是可交換環。在這個意義下的同倫論正是同調代數。如此同調即可視為同倫的一種，因而使得將同調向群和R-代數等的推廣成為可能：這也是模型範疇理論最初的主要應用之一。由於這個特例涉及的是同調，對一般的閉模型範疇的研究有時則被視作同倫代數。

形式定義

奎倫最初的定義給出的概念被後人稱為「閉模型範疇」，其假設在當時被認為過強，因而促使其它研究者弱化部分假設來定義「模型範疇」。實際操作中，尚未有明確證據說明兩者的區別有重要意義，而許多近年作者（如Hovey和Hirschhorn）甚至直接考慮閉模型結構，並放棄強調「閉」這一字眼。

對模型範疇的定義分為兩部分：先是範疇上的模型結構，其次才是進一步的範疇論假設。這麼做的動機可能一開始不甚明確，但隨後會漸漸顯出重要性。以下的定義遵循Hovey給出的版本。

範疇C 上的模型結構由三類映射（更精確地，子範疇）：弱等價、纖維化、和上纖維化，和兩套函子性分解${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$和${\displaystyle (\gamma ,\delta )}$組成，服從以下的公理。同為弱等價的纖維化稱為非循環（或平凡）纖維化^[1]，而同為弱等價的上纖維化則稱為非循環（或平凡）上纖維化。

公理：

1. 收縮公理：若g 屬於三類態射中的任一類，f 是g 的收縮（作為箭頭範疇 ${\displaystyle C^{2}}$ 中的對象，其中2代表二元有序集），那麼f 屬於同一類態射。更直白地說，${\displaystyle f:A\to A'}$ 是 ${\displaystyle g:B\to B'}$ 的收縮當且僅當存在態射 ${\displaystyle i:A\to B}$、${\displaystyle j:A'\to B'}$、${\displaystyle r:B\to A}$ 和 ${\displaystyle r:B'\to A'}$，使得${\displaystyle g\circ i=j\circ f}$、${\displaystyle f\circ r=s\circ g}$，以及 ${\displaystyle r\circ i=1_{A}}$ 和 ${\displaystyle s\circ j=1_{A'}}$。
2. 「2 of 3」公理：若f 和g 是C 中的態射，使得gf 可被定義，且這三個映射中任意兩個是弱等價，則第三個也是弱等價。
3. 提升公理：非循環上纖維化對纖維化滿足左提升性質，而上纖維化對非循環纖維化滿足左提升性質。明確地說，${\displaystyle i:A\to B}$ 對 ${\displaystyle p:X\to Y}$ 滿足左提升性質當且僅當對於任意態射 ${\displaystyle f:A\to X}$ 和 ${\displaystyle g:B\to Y}$ 使得 ${\displaystyle p\circ f=g\circ i}$，都存在態射 ${\displaystyle h:B\to X}$ 滿足 ${\displaystyle f=h\circ i}$ 與 ${\displaystyle g=p\circ h}$。假如這樣，也稱p 對i 滿足右提升性質。
4. 分解公理:
   • C 中的任意態射f 都可被寫作 ${\displaystyle p\circ i}$，其中p 是纖維化而i 是非循環上纖維化；
   • C 中的任意態射f 都可被寫作 ${\displaystyle p\circ i}$，其中p 是非循環纖維化而i 是上纖維化。

模型範疇是擁有模型結構和所有（小）極限和上極限的範疇，即帶有模型結構的完備和上完備範疇。

由公理可以推出三類態射中的任意兩類都可確定第三類：給定弱等價和剩餘兩類態射之一，第三類可由提升性質刻畫（見下文）；而給定纖維化和上纖維化，而纖維化和上纖維化（由提升性質）可以確定非循環上纖維化與非循環纖維化，然後弱等價則是由可被分解成非循環上纖維化與非循環纖維化複合所刻畫（由分解公理和「2 of 3」公理得到）。

另外，模型範疇的定義是自對偶的：如果C 是一個模型範疇，那麼它的反範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ 也帶有一套模型結構，其中弱等價是C 中弱等價的相反（對偶），纖維化是C 中上纖維化的相反，而上纖維化則是C 中的相反。

例子

拓撲空間

拓撲空間範疇Top帶有一個模型範疇，以塞爾纖維化為纖維化，和以弱同倫等價為弱等價。然而上纖維化則與通常的上纖維化稍有不同，而是更小的一類、滿足對非循環的塞爾纖維化的左提升性質的映射。等價地，上纖維化是相對胞復形的收縮；見如Hovey的Model Categories一書。

這並不是Top上僅有的模型範疇結構——一般而言給定的範疇上可以有許多種不同的模型範疇。如拓撲空間範疇就帶有另一種模型範疇結構，以胡列維茨纖維化為纖維化，以像為閉子空間的胡列維茨上纖維化為上纖維化，和以（強）同倫等價為弱等價。

鏈復形

（非負分級）的R-模鏈復形帶有至少以下兩套模型結構，在同調代數中都相當重要：

• 弱等價為誘導出同調同構的映射（即擬同構）
• 上纖維化為在每一級上都是單同態、上核皆為投射模的映射，
• 纖維化為在除第零級外每一級都是滿同態的映射；

以及

• 弱等價為擬同構
• 纖維化為在每一級上都是滿同態、核皆為內射模的映射，
• 上纖維化為除第零級外每一級都是單同態的映射。

這也解釋了為何計算R-模的Ext群時既可以對其源進行投射分解、也可以對其目標進行內射分解：這不過是在兩套模型結構內分別進行上纖維子替換和纖維子替換而已。

R-模的任意鏈復形的範疇則帶有如下模型結構：

• 弱等價為鏈復形的鏈同倫，
• 上纖維化為在每一級上都是分裂的R-模單同態的映射，
• 纖維化為在每一級上都是分裂的R-模滿同態的映射。

更多例子

其它帶有模型結構的範疇的例子包括所有小範疇的範疇，單純集合或格羅滕迪克site上的單純預層的範疇，拓撲譜的範疇，及單純譜或小格羅滕迪克site上的單純譜預層範疇。

範疇中的單純對象常常是模型範疇的來源；例如，單純可交換環或單純R-模都帶有自然模型結構。這是因為在單純集合和這些範疇之間有伴隨函子對（由遺忘函子和自由函子給出），而在好的情況模型結構可以通過這樣的伴隨對來賦予。

「單純模型範疇」是指一個單純範疇，並帶有與自身單純結構共容的模型結構。^[2]

給定任意範疇C 和模型範疇M，基於一些額外的假設，函子範疇Fct(C ,M )（亦稱M 中的C-圖表）也是一個模型範疇。事實上，函子範疇總有兩套不同的模型結構供考慮。第一種被稱為「投射模型結構」，其中纖維化和弱等價分別是那些每一個C 中的對象都對應於M 中的纖維化和弱等價的自然變換。對偶地，「內射模型結構」的構造相似，只是取上纖維化和弱等價代替纖維化和弱等價。在這兩套結構中，第三類態射都由適當的提升條件給出。在某些情況下，例如當C 是一個Reedy範疇時，還有第三套介於投射和內射結構之間的模型結構。

在一個給定的模型範疇中，可以通過迫使某些映射成為弱等價，從而在同一個基範疇中得到一套新的模型範疇結構；這個操作稱為Bousfield局部化。例如，單純層範疇上的模型結構可以通過對單純預層上的模型結構進行Bousfield局部化得到。

Denis-Charles Cisinski發展出了^[3]一套預層範疇上模型結構的一般理論；這推廣了單純集合，因後者不過是單純範疇上的預層。

一些構造

因為始對象和終對象分別是空圖表的上極限和極限，由上完備性和完備性可知任一閉模型範疇都有一始對象與一終對象。給定模型範疇中的對一個對象X，若從始對象到X 的唯一映射是上纖維化，則稱X 為上纖維子。對應地，若從X 到終對象的唯一映射是纖維化，則稱X 為纖維子。

如果Z 和X 是一個模型範疇中的對象，Z 是上纖維子，且存在從Z 到X 的弱等價，那麼稱Z 為X 的上纖維子替換。相似地，如果Z 是纖維子，且存在從X 到Z 的弱等價，那麼稱Z 為X 的纖維子替換。一般來說，模型範疇中的對象並非都是纖維子或上纖維子，僅是偶爾如此。例如，在單純集合的標準模型範疇中所有對象都是上纖維子，而在拓撲空間的標準模型範疇中所有對象都是纖維子。值得注意的是，每個對象都同時有一個纖維子替換和一個上纖維子替換。

藉助圓柱對象 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）可定義左同倫，而藉助路徑空間對象 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）則可定義右同倫，而當域為上纖維子、陪域為纖維子時，這兩個概念等價。在這個情況下，同倫構成了模型範疇中態射集上的等價關係，因而給出了態射集上的同倫類。

基於提升性質對纖維化和上纖維化的描述

上纖維化可描述成對所有非循環纖維化具有左提升性質的映射，而非循環上纖維化則是對所有纖維化具有左提升性質的映射。相似地，纖維化可描述成對所有非循環上纖維化具有右提升性質的映射，而非循環纖維化則是對所有上纖維化具有右提升性質的映射。在這個意義下，範疇的模型結構完全由弱等價加上纖維化或纖維化之一而唯一確定。

同倫和同倫範疇

模型範疇C 的同倫範疇是C 對於弱等價這類映射的局部化。這個同倫範疇的定義不取決於纖維化和上纖維化的選擇，然而，纖維化和上纖維化這兩類映射可用於給出同倫範疇的另一個描述，尤其可以避免一些在對一般範疇進行局部化時遇到的集合論問題。更精確的說，「模型範疇基本定理」聲明，C 的同倫範疇等價於一個以C 中同為纖維子和上纖維子的對象為對象、以C 中態射的左同倫類（或等價地，右同倫類）為態射的範疇。（例如，見Hovey的Model Categories，定理1.2.10）

將基本定理應用於標準的拓撲空間模型範疇，可得其同倫範疇等價於對象為CW復形、態射為連續映射的同倫類的範疇。「同倫範疇」因而得名。

奎倫伴隨

模型範疇C 和D 之間的奎倫伴隨是一對伴隨函子

${\displaystyle F:C\leftrightarrows D:G}$

並且F 保持上纖維化和非循環上纖維化，或等價地由閉模型公理可得，G 保持纖維化和非循環纖維化。這樣，F 和G 誘導出一對同倫範疇之間的伴隨

${\displaystyle LF:Ho(C)\leftrightarrows Ho(D):RG}$

另外，對於後者是否範疇的等價有一套明確的判斷條件；若它們是等價，則稱F 和G 為奎倫等價。

奎倫伴隨的標準例子是單純集合範疇和拓撲空間範疇之間的標準伴隨

${\displaystyle |-|:s\mathbf {Set} \leftrightarrows \mathbf {Top} :Sing}$

涉及單純集合的幾何實現函子和拓撲空間的奇異鏈函子。注意雖然範疇sSet和Top並不等價，但是他們的同倫範疇卻等價。因此，單純集合常常用作拓撲空間的模型，可以看作是它們同倫範疇等價的結果。

注釋

1. 許多讀者認為「平凡」一詞帶歧義，因此更偏愛「非循環」一詞。
2. Definition 2.1. of [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
3. Cisinski, Denis-Charles. Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie. (French) [Presheaves as models for homotopy types] Astérisque No. 308 (2006), xxiv+390 pp. ISBN 978-2-85629-225-9 MR2294028

另見

• (∞,1)-範疇
• 穩定同倫範疇

參考文獻

• D.-C. Cisinski: Les préfaisceaux commes modèles des types d'homotopie （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Astérisque, (308) 2006, xxiv+392 pp.
• W. G. Dwyer and J. Spalinski: Homotopy Theories and model categories, 1995. [2] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Philip S. Hirschhorn: Model Categories and Their Localizations, 2003, ISBN 0-8218-3279-4.
• Mark Hovey: Model Categories, 1999, ISBN 0-8218-1359-5.
• K. H. Kamps and T. Porter: Abstract homotopy and simple homotopy theory, 1997, World Scientific, ISBN 981-02-1602-5.
• G. Maltsiniotis: La théorie de l'homotopie de Grothendieck. Astérisque, (301) 2005, vi+140 pp.
• Quillen, Daniel G., Homotopical algebra, Lecture Notes in Mathematics, No. 43 43, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1967, MR 0223432, doi:10.1007/BFb0097438

延伸閱讀

• http://mathoverflow.net/questions/78400/do-we-still-need-model-categories/ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• http://mathoverflow.net/questions/8663/infinity-1-categories-directly-from-model-categories/8675#8675 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• P. Goerss and K. Schemmerhorn, Model Categories and Simplicial Methods （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

• nLab 中的模型範疇 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Joyal's catlab中的模型範疇 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）