代數數域

代數數域是數學中代數數論的基本概念，數域的一類，有時也被簡稱為數域，指有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張形成的擴域^[1][2]。任何代數數域都可以視作${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的有限維向量空間。

提示：此條目的主題不是數域，也不是全體代數數構成的域。

對代數數域的研究，或者更一般地說，對有理數域的代數擴張的研究，是代數數論的中心主題。

定義

預備知識

代數數域是域的一類。域是裝備了兩個二元運算（通常稱之為「加法」、「乘法」）的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律，完全可逆，同時乘法對加法滿足分配律（詳細定義參見域）。域的一個重要的例子是有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$。

域的擴張

域的擴張研究各類域之間的關係，最早的應用包括多項式方程一般求根公式問題等。在給定的域F中加入不屬於此域的元素（一般以集合S記錄），規定相互間的運算法則後，「最小的」將它們都包含在內的域^{[N 1]}L稱為「F（添加S中元素得到）的擴域」。稱F是L的子域。一般將「F到L的域擴張」記作F⊂L或L/F。

向量空間

另一個基礎概念是向量空間。向量空間，特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣（具體定義參見向量空間條目）。以某個域F為係數域的向量空間（通常稱作F上的向量空間或F-向量空間），其中的向量除了可以相加減，還可以乘以F中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件，稱為空間的基。選定了空間的基以後，空間裡的任何向量都可以表達為以F中元素組成的有序數組：${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}$。其中的n是基中向量的個數，也稱為空間的維數。

有限擴張

設L是域F的一個擴域。將L中的元素看作向量，以F作為係數域，可以證明L是一個F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的，就稱L是F的有限擴張。L作為F-向量空間的維數，稱為擴張的次數，記作[L : F]。

定義

若域L是有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張，則稱之為代數數域^[3]:3。

例子

最小最基本的代數數域是有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$。因為${\displaystyle \mathbb {Q} }$自身是${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間，維數是1。因此${\displaystyle \mathbb {Q} }$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$自身的域擴張，${\displaystyle [\mathbb {Q} :\mathbb {Q} ]=1.}$

高斯有理數${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$（i為虛數單位）是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子，它是所有形同：

${\displaystyle a+bi,\;\;a,b\in \mathbb {Q} }$

的數構成的集合。可以證明，${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$是域，而且是${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間，以${\displaystyle \{1,i\}}$為基，空間維數是2。所以${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的二次擴張，${\displaystyle [\mathbb {Q} (i):\mathbb {Q} ]=2.}$

給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數d，二次域${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中添加 d的平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似，可以證明${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間，以${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}$為基，空間維數是2，即${\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}):\mathbb {Q} ]=2.}$

考慮多項式方程${\displaystyle x^{n}=1}$的n個復根${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}}$，它們被稱做n次單位根，具體可以寫作：

${\displaystyle \xi _{i}=e^{\frac {2i\pi }{n}},\;\;i\in \{0,1,\cdots ,n-1\}.}$

在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中添加${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}}$得到的擴域稱為n次分圓域，記作${\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{n})}$。可以證明${\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{n})}$是有限維${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間，維數為${\displaystyle \varphi (n)}$（${\displaystyle \varphi }$是數論中的歐拉函數），即${\displaystyle [\mathbb {Q} (\xi _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n).}$

實數域${\displaystyle \mathbb {R} }$、複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$和p進數域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$都不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張，因此都不是代數數域。任何有限域都不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的擴域，因此也不是代數數域。

全體規矩數構成的域${\displaystyle {\mathcal {C}}}$和全體代數數構成的域${\displaystyle {\mathcal {A}}}$（有時也被簡稱為代數數域，與本文主題同名，但不是同一個概念）不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張，因此都不是代數數域。

代數數域與代數數

代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式（不是零多項式）的根的數。顯然所有的有理數都是代數數^{[N 2]}。給定一個代數數域L，依定義，域擴張${\displaystyle \mathbb {Q} \subset L}$是有限擴張。設其次數為正整數m^{[N 3]}。將L看作是m維${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間，在L中任意選一個不屬於${\displaystyle \mathbb {Q} }$的數z，它可以被看作是m維${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間中的一個（非零）向量。考慮以下的m + 1個向量：

${\displaystyle 1,z,z^{2},\cdots ,z^{m}}$

它們都屬於L。根據向量空間的性質，它們是線性相關的。即存在不全為零的m + 1個有理數：${\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots ,a_{m}}$，使得：

${\displaystyle a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{m}z^{m}=0}$.

考慮非零多項式${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}}$，${\displaystyle P(z)=0}$，即z是多項式${\displaystyle P}$的根。所以z是代數數。由上可知，任一代數數域的元素都是代數數。

代數整數

主條目：代數整數

代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數^[3]:4。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整係數多項式X - n的根，因此是代數整數。給定代數數域F，F中所有代數整數構成一個環，稱作F中的（代數）整數環，也稱為F-整數環，記作${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$。例如${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的代數整數環就是${\displaystyle \mathbb {Z} }$，因此在代數數域研究中${\displaystyle \mathbb {Z} }$也被稱作「有理整數」（有理數域中的整數），以區別於其餘的代數整數。

代數數域F中的整數環${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$與${\displaystyle \mathbb {Z} }$有不同的代數性質。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$不一定是唯一分解整環。舉例來說，設${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$，F中的整數環是${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$。${\displaystyle 2,3,1+{\sqrt {-5}},1-{\sqrt {-5}}}$都是${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$中的「素數」^{[N 4]}。正整數6，作為${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$中的元素，它的素因數分解有兩種方式：

${\displaystyle 6=2\times 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\times \left(1-{\sqrt {-5}}\right).}$

有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補，由此發展出理想理論^[4]。代數數論中一個重要的事實是：${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積，即為戴德金整環。這種「理想的唯一素分解」可部分彌補「代數整數一般不能唯一素因子分解」的不足，在歷史上使代數數論發展起來^[2]。

代數數域的基

整數基

設F為n次代數數域，F的整數基是任一由n個F-整數組成的集合：

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\}}$

使得任一個F-整數x都能唯一地表示為這n個F-整數的整線性組合^{[N 5]}，即：

${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {O}}_{F},\;\;\exists !\;(m_{1},m_{2},\cdots ,m_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}}$，使得${\displaystyle x=m_{1}b_{1}+m_{2}b_{2}+\cdots +m_{n}b_{n}.}$

換句話說，整數基B是${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$作為自由${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模的基。給定F的一組整數基B，可以證明，所有F中元素x都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合，即：

${\displaystyle \forall x\in F,\;\;\exists !\;(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}$，使得${\displaystyle x=q_{1}b_{1}+q_{2}b_{2}+\cdots +q_{n}b_{n}.}$

這說明B是F作為n維${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間的一組基。而且由於B中元素都是F-整數，故B名為整數基。此外可以證明，x是F-整數當且僅當所有${\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}}$都是有理整數。

乘冪基

設F為n次代數數域。作為n維${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空間，F包含如下形式的基：

${\displaystyle B=\{1,\beta ,\beta ^{2},\cdots ,\beta ^{n-1}\}}$

其中每個元素都是某個特定的數β的乘冪。根據域擴張理論中的本原元定理，這樣的β一定存在，稱為域擴張${\displaystyle \mathbb {Q} \subset F}$的本原元。如果β不僅是本原元，還是F-整數，那麼這時B也是整數基，稱作乘冪整數基，稱F為單衍域（monogenic field）。

參見

• 狄利克雷單位定理, S-單位
• 庫默爾擴張
• 閔可夫斯基定理 幾何數論
• Chebotarev稠密定理
• 射線類群
• 分解群
• 虧格域

注釋

1. 「最小的」指所有同時包含F和S的域的交集。
2. 任意有理數q都是一次多項式X - q的根。
3. 此處假設這個域擴張不是平凡的，即L不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$自身，也即是說假設m大於1。
4. 即不能表示成另兩個${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$中的不等於1或-1的數的乘積，正式名稱為不可約元素或素元。
5. 在不計順序的情況下。

參考來源

1. 藍以中. 《高等代数简明教程》 第二版. 北京大學出版社. 2007年7月: 9. ISBN 978-7-301-05370-6.
2. 張賢科. 代数数论介绍. 清華大學 數學科學系. [2014-05-26]. （原始內容存檔於2014-11-12）.
3. David Hilbert. The Theory of Algebraic Number Fields. Springer（插圖版）. 1998. ISBN 9783540627791.
4. 康明昌. 費馬問題. 數學傳播. 第7卷第4期, 第8卷第1期. [2014-05-24]. （原始內容存檔於2017-05-14）.

• Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.1996, ISBN 978-0-8218-0429-2 請檢查|date=中的日期值 (幫助)
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
• Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196
• Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995