鞅的概念首先是由保羅·皮埃爾·萊維於1934年提出的，但他只提出了離散時間的版本，而且沒有給予命名。直到1939年，約翰·維爾（英語：Jean Ville）將此概念推廣到連續時間的情況，並且首次提出「martingale」這個名稱。約瑟夫·利奧·杜布（英語：Joseph L. Doob）等人在鞅的相關理論的初期發展做出重大貢獻，而完成這些工作的部分動機是為了表明成功的投注策略不可能存在。此外，伊藤清在分析應用方面作出了重要的貢獻。從1970年代開始，鞅論就在純粹數學和應用數學的很多領域中有廣泛的應用，特別是在數學物理和金融數學中。
設 Xn 是一個賭徒 n 次拋擲公平硬幣後的財產，規則是如果硬幣正面朝上，則賭徒贏得 1 美元，硬幣反面朝上，則賭徒輸掉 1 美元。在已知過去不同時刻所擁有的財產之下，下一次試驗後賭徒財產的條件期望與其現在的財產相等，故這一隨機過程是鞅。這個例子稱為賭徒謬誤。
令 Yn = Xn2 − n ，其中 Xn 是上例中賭徒的財產，則隨機過程{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是鞅。這一例子可以表明賭徒的全部收益或損失大致在拋擲次數的正負平方根之間變化。
（棣莫弗鞅）設拋擲的是有偏硬幣（或稱為不公平硬幣），正面向上的概率為 p，反面向上的概率為 q = 1 − p 。令
正面情況用「+」，反面情況用「−」。令
則{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是關於{ Xn : n = 1, 2, 3, ... }的鞅。證明如下：
複合補償泊松過程的2條軌道，強度分別為2.4（藍）和0.6（紅），服從正態分布
（波利亞罐子模型）一個罐子中最初裝有 r 個紅球和 b 個藍球。某人隨機取出一個球，然後將此球與另一個與此球顏色相同的球放回罐子中。令 Xn 為重複上述步驟 n 次後罐子中的紅球數，令 Yn = Xn / (n + r + b)。這時隨機過程{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是鞅。
（統計學中的似然比檢驗）某一總體可能是按照概率密度 f 分布，也可能是按照概率密度 g 分布。從總體中取出一個隨機樣本，數據為 X1, ..., Xn 。令 Yn 為「似然比」：
（上式在應用中用作檢驗統計量。）若總體實際上是按照概率密度 f 而不是 g 分布，則{ Yn : n = 1, 2, 3, ... }是關於{ Xn : n = 1, 2, 3, ... }的鞅。
設每一變形蟲不是以概率 p 分裂成兩個變形蟲，就是以概率 1 − p 最終死亡。令 Xn 為 n 代後變形蟲的存活數目（若種群在某一時刻滅絕，則這一時刻的 Xn = 0）。令 r 為最終滅絕的概率（英語：Galton–Watson process）。（找出 r 關於 p 的函數在實際應用中是非常有用的。提示：已知最初的一個變形蟲已經分裂了，則這個變形蟲的後代最終滅絕的概率等於其分裂直接得到的兩個後代中任何一個死亡的概率。）則
若{ Nt : t ≥ 0 }是強度為λ的泊松過程，則補償泊松過程{ Nt − λt : t ≥ 0 }是具有右連續且有左極限的樣本軌道的連續時間鞅（更確切地說是局部鞅）。
利用計算機軟件，鞅序列可以很容易地製作出來：
Microsoft Excel或類似的電子製表軟件：在A1（左上角）單元格中輸入0.0，在下方的A2單元格中輸入=A1+NORMINV(RAND(),0,1)。這時下拉複製此單元格，得到大約300個單元格，這樣就能創建均值為0，標準差為1的鞅序列。在這些單元格仍處於選中狀態的情況下，利用圖表創建工具創建這些值的圖表。這時每次重新計算後（在Excel中可按F9實現），圖表都會顯示出不同的鞅序列。
![{\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a839e72c46650c7da597b2e583a3677e9c960fd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d39ca9848fbe72736ccddbfe499d0a07ce32f22)
![{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad18070dbd7931e5cad0c2cef27a40d8ca2c570b)
![{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6a06fa6e84991c5ad6af44f634f678c450e43d)
