鞅中心極限定理

鞅中心極限定理是概率論中的一個定理，對有界的隨機變量而言，常見的經典中心極限定理是它的特殊情形。經典中心極限定理說，在一定條件下，獨立同分布（i.i.d.）的隨機變量之和，乘以適當的標準化因數後，會依分布收斂於標準正態分布 。而鞅中心極限定理將獨立性假設放寬為：這些隨機變量只需構成一個鞅中的隨機增量（鞅是一種隨機過程 ，其從時間 ${\displaystyle t}$ 到時間 ${\displaystyle t+1}$ 的增量，在給定時間 1 到 ${\displaystyle t}$ 觀測值的條件下，其條件數學期望為零）。

定理內容

鞅中心極限定理的基本內容可陳述如下：令隨機變量 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots \,}$ 構成一個鞅，即滿足條件：

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,}$ （鞅的定義）

進一步假設這個鞅是有限增量的，即：存在一個固定常數 ${\displaystyle k>0}$ ，有：

${\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq k}$

對所有 ${\displaystyle t}$ 成立。 另假設${\displaystyle |X_{1}|\leq k}$ 也成立。 定義增量的條件方差為：

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\mathbb {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],}$

並假設所有條件方差之和發散，即下式以概率1成立：

${\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }$

據此，對任意給定的常數 ${\displaystyle \nu >0}$ ，可以定義：

${\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.}$

在所有上述假設成立的條件下，鞅中心極限定理做出如下結論：標準化的鞅隨機變量：

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}$

隨着 ${\displaystyle \nu \to +\infty \!}$ 將會依分布收斂於標準正態分布。

隨機增量的條件方差之和必須發散

上述定理假設了所有隨機增量的條件方差之和為無窮大，即以下條件以概率1成立：

${\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }$

這樣可以確保以概率1，下式成立：

${\displaystyle \tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0}$

並不是所有鞅都滿足這個條件，例如恆為零的平凡鞅。

定理的直觀理解

可以通過將 ${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}$ 如下變形來更好地理解鞅中心極限定理：

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1}$

右邊的第一項漸近收斂於零，可以忽略。第二項在形式上，與獨立同分布隨機增量的經典中心極限定理相似，雖然其中被求和項 ${\displaystyle X_{i+1}-X_{i}}$ 互相之間未必獨立，但由鞅的定義易知它們互不相關的，因為：

${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})|X_{1},\ldots ,X_{i+m}]]=0}$

參考文獻

• Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8. Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8. Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8.
• 有關定理5.4的討論以及推論5.3（ii）的正確形式，請參見Bradley, Richard. On some results of MI Gordin: a clarification of a misunderstanding. Journal of Theoretical Probability (Springer). 1988, 1 (2): 115–119. doi:10.1007/BF01046930.