布朗運動 （英語：Brownian motion ）是微小粒子或者顆粒在流體 中做的無規則運動。布朗運動過程是一種正態分布 的獨立增量 連續隨機過程 。它是隨機分析 中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動W(t)是期望為0、方差 為t（時間）的正態隨機變量。對於任意的r小於等於s，W(t)-W(s)獨立於的W(r)，且是期望為0、方差 為t-s的正態隨機變量。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程 、鞅過程 和伊藤過程 。
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模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動 。 粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。 它是在西元1827年[ 1] 羅伯特·布朗 利用一般的顯微鏡 觀察懸浮於水中由花粉 所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子 的大小，因為就是由水 中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10-8 厘米。
自1860年以來，許多科學家 都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：[ 2]
粒子的運動由平移 及轉移 所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
粒子的運動永不停止。
在1905年，愛因斯坦 提出了相關理論。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳 有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德羅定律 ，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德羅常數 」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德羅常數等同原子量。
愛因斯坦論證的第一部分是，確定布朗粒子在一定的時間內運動的距離。[ 3] [來源請求] 14 次撞擊。[ 4] [來源請求]
他把粒子在一個的空間中，把布朗粒子在一維方向上的運動增量 (x) 視作一個隨機值（
Δ
{\displaystyle \Delta }
x， 並對其坐標進行變換，讓原點成為粒子運動的初始位置）並給出概率密度函數
φ
(
Δ
)
{\displaystyle \varphi (\Delta )}
ρ
(
x
,
t
)
+
τ
∂
ρ
(
x
)
∂
t
+
⋯
=
ρ
(
x
,
t
+
τ
)
=
∫
−
∞
+
∞
ρ
(
x
+
Δ
,
t
)
⋅
φ
(
Δ
)
d
Δ
=
ρ
(
x
,
t
)
⋅
∫
−
∞
+
∞
φ
(
Δ
)
d
Δ
+
∂
ρ
∂
x
⋅
∫
−
∞
+
∞
Δ
⋅
φ
(
Δ
)
d
Δ
+
∂
2
ρ
∂
x
2
⋅
∫
−
∞
+
∞
Δ
2
2
⋅
φ
(
Δ
)
d
Δ
+
⋯
=
ρ
(
x
,
t
)
⋅
1
+
0
+
∂
2
ρ
∂
x
2
⋅
∫
−
∞
+
∞
Δ
2
2
⋅
φ
(
Δ
)
d
Δ
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}}
第一行中的第二個等式是被
φ
{\displaystyle \varphi }
∂
ρ
∂
t
=
∂
2
ρ
∂
x
2
⋅
∫
−
∞
+
∞
Δ
2
2
τ
⋅
φ
(
Δ
)
d
Δ
+
(更 高 阶 的 项 )
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项 )}}}
拉普拉斯算子之前的係數，是下一刻的隨機位移量
Δ
{\displaystyle \Delta }
D
=
∫
−
∞
+
∞
Δ
2
2
τ
⋅
φ
(
Δ
)
d
Δ
{\displaystyle D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta }
那麼在 t 時刻 x 處的布朗粒子密度 ρ 滿足擴散方程：
∂
ρ
∂
t
=
D
⋅
∂
2
ρ
∂
x
2
,
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}
假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解
ρ
(
x
,
t
)
=
ρ
0
4
π
D
t
e
−
x
2
4
D
t
.
{\displaystyle \rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.}
滿足下列條件的鞅 我們稱之為布朗運動
這個鞅是關於時間連續的。
他的平方減去時間項也是一個鞅。
(
M
t
)
{\displaystyle (M_{t})}
(
M
t
)
{\displaystyle (M_{t})}
(
M
t
2
−
t
)
{\displaystyle (M_{t}^{2}-t)}
3000步的2維布朗運動的模擬。 1000步的3維布朗運動模擬。 一維的定義
一維布朗運動
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
t 的一個隨機過程，他滿足 ：
（獨立增量）設時間t 和s 滿足t > s ,增量
B
t
−
B
s
{\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}
s 前的過程
(
B
u
)
0
≤
u
≤
s
{\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}
（穩定增量和正態性）設時間t 和s 滿足t > s ,增量
B
t
−
B
s
{\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}
t −s 的正態分布。
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
t
↦
B
t
(
ω
)
{\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}
通常假設
B
0
=
0
{\displaystyle \scriptstyle B_{0}=0}
等價定義
一維布朗運動
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
t 的一個隨機過程，他滿足 ：
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
高斯過程 ，也就是說對於所有的時間列：
t
1
≤
t
2
≤
.
.
.
≤
t
n
{\displaystyle \scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}}
(
B
t
1
,
B
t
2
,
.
.
.
,
B
t
n
)
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}
(
B
t
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}
對於所有s 和t ,均值
E
[
B
t
]
=
0
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}
協方差
E
[
B
s
B
t
]
=
m
i
n
(
s
,
t
)
{\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}
高維定義
(
B
t
)
t
≥
0
:=
(
B
t
1
,
B
t
2
,
.
.
.
,
B
t
d
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}}
d 維布朗運動，只需滿足
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
B
d
{\displaystyle \scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}
換句話說，d 維布朗運動 取值於
R
d
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{d}}
R
,
R
2
,
.
.
.
,
R
d
−
1
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}}
Wiener測度的定義
設
C
(
R
+
,
R
)
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}
R
+
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+}}
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
(
Ω
,
T
,
P
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )}
B
:
Ω
⟶
C
(
R
+
,
R
)
{\displaystyle B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}
ω
↦
(
t
↦
B
t
(
ω
)
)
{\displaystyle \omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)}
Wiener測度 （或稱為布朗運動的分布）設為
W
(
d
ω
)
{\displaystyle \scriptstyle W(d\omega )}
B 關於
P
(
d
ω
)
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )}
換句話說， W 是
C
(
R
+
,
R
)
{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}
A
⊂
C
(
R
+
,
R
)
{\displaystyle \scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}
W
(
A
)
=
P
(
(
B
t
)
t
≥
0
∈
A
)
{\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)}
備忘
布朗運動是一種增量服從正態分布的萊維過程 。
這個定義可以幫助我們證明布朗運動的很多特性，比如幾乎處處連續，軌跡幾乎處處不可微等等。
我們可以利用二次變差的期望為時間來等價定義布朗運動。這個定義由Levy定理演化而來， 即： 軌跡連續且二次變差為
t
{\displaystyle t}
布朗運動的軌道幾乎處處不可微：對於任何
ω
∈
Ω
{\displaystyle \scriptstyle \omega \in \Omega }
t
↦
B
t
(
ω
)
{\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}
協方差
E
[
B
s
B
t
]
=
m
i
n
(
s
,
t
)
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}
布朗運動具有強馬氏性 ： 對於停時 T ,取條件
[
T
<
∞
]
{\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]}
(
B
t
T
)
t
≥
0
:=
(
B
T
+
t
−
B
T
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}}
(
B
s
)
0
≤
s
<
T
{\displaystyle \scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}}
它的Fourier變換 或特徵函數 為
E
[
e
i
u
B
t
]
=
e
−
t
u
2
2
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}
布朗運動關於時間是齊次的： 對於s > 0,
(
B
t
+
s
−
B
s
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}}
(
B
u
)
0
≤
u
≤
s
{\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}
-B 是一個布朗運動。
（穩定性） 對於c > 0，
(
c
B
t
c
2
)
t
≥
0
{\displaystyle \scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}}
（時間可逆性）
(
t
B
1
t
)
t
>
0
{\displaystyle \scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}}
t =0之外是布朗運動。
（常返性 ）只有1維和2維布朗運動是常返的： 如果
d
∈
{
1
,
2
}
{\displaystyle \scriptstyle d\in \{1,2\}}
{
t
≥
0
,
B
t
=
x
}
{\displaystyle \scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}}
x
∈
R
d
{\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}}
如果
d
≥
3
,
lim
t
→
∞
|
|
B
t
|
|
=
+
∞
{\displaystyle \scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty }
P
[
sup
0
≤
s
≤
t
B
s
≥
a
]
=
2
P
[
B
t
≥
a
]
=
P
[
|
B
t
|
≥
a
]
.
{\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}
設
(
f
t
)
t
∈
R
+
{\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}}
L
2
(
R
+
)
{\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}
∀
(
u
,
v
)
∈
R
+
,
s
(
u
,
v
)
=
⟨
f
u
,
f
v
⟩
L
2
(
R
+
)
=
∫
R
+
f
u
(
x
)
f
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx}
這列函數滿足：
∀
k
∈
N
∗
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}}
t
1
,
.
.
.
,
t
k
∈
R
+
{\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}}
(
s
(
t
i
,
t
j
)
)
1
≤
i
,
j
≤
k
{\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}
利用Kolmogorov一致性定理，我們可以構造高斯過程
{
Y
t
}
t
∈
R
+
{\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}
m
{\displaystyle m}
s
{\displaystyle s}
當
(
f
t
)
t
∈
R
+
=
(
c
.1
1
[
0
,
t
]
)
t
∈
R
+
{\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}}
c
>
0
{\displaystyle c>0}
1
1
[
0
,
t
]
{\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}}
[
0
,
t
]
{\displaystyle [0,t]}
s
(
u
,
v
)
=
c
∫
R
1
1
[
0
,
u
]
(
s
)
1
1
[
0
,
v
]
(
s
)
d
s
=
c.min
(
u
,
v
)
{\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)}
在這個情況下，矩陣
(
s
(
t
i
,
t
j
)
)
1
≤
i
,
j
≤
k
{\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}
我們稱一個高斯過程為 布朗運動 當且僅當均值為0，協方差為s。
c
=
V
a
r
(
B
1
)
{\displaystyle c=Var(B_{1})}
c
=
1
{\displaystyle c=1}
標準的布朗運動 .
Donsker定理 （1951）證明了逐漸歸一化的隨機遊走弱收斂於布朗運動。
(
1
σ
n
(
∑
k
=
1
[
n
t
]
U
k
+
(
n
t
−
[
n
t
]
)
U
[
n
t
]
+
1
)
)
0
≤
t
≤
1
⟹
n
→
∞
(
B
t
)
0
≤
t
≤
1
{\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}
其中（U n n ≥ 1） 獨立同分布， 均值為0,方差為σ 的隨機變量序列。
值得注意的是，布朗運動指的是花粉迸出的微粒的隨機運動，而不是分子的隨機運動。但是通過布朗運動的現象可以間接證明分子的無規則運動。 [來源請求]
一般而言，花粉 之直徑分布於30～50μm 、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm （非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在羅伯特·布朗 的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。 [來源請求]
花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運動。 在日本 ，以鶴田憲次 『物理學叢話』為濫觴，岩波書店 『岩波理科辭典』[ 5] 花輪重雄 『物理學読本』、湯川秀樹 『素粒子』、坂田昌一 『物理學原論（上）』、平凡社 『理科辭典』、福岡伸一 著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。 [來源請求]
直到1973年橫浜市立大學 名譽教授 植物學 者岩波洋造 在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。國立教育研究所 物理 研究室長板倉聖宣 在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。 [來源請求]
李育嘉. 漫談布朗運動 . [2012-12-14 ] . （原始內容存檔 於2019-07-18）. Feynman, R. The Brownian Movement . The Feynman Lectures of Physics, Volume I. 1964: 41-1 [2018-02-05 ] . （原始內容存檔 於2021-02-14）. 
![{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1ce330b074c3c976f4ea1be45d3296b7027d8e)
![{\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffb7841c8a42b9e045fa78c2ed14fec391cb715)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2960de156d232c7eb55b7e97c806720fabb51d)
![{\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6885b8b72ae1ad38319e88e7e957aa628444d3)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab55235bec9cd31ec50cfa8bfccf871fab0569f)
![{\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41019e614a289a58287d418c67e9fa6804208de)
![{\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dc4d4d2b7105226701d051b942c22fe8ab2e72)
![{\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a6fbd7e256ad5badddb733d9e5e69964152958)
![{\displaystyle [0,t]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d2d2fa44908c699e2b7b7b9e92befc8283f264)
![{\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3733bb18c7af27a59fff85fe00649990a3be25)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da668dedd47db63b559871f6652a4458447db78)
