布朗運動

布朗運動（英語：Brownian motion）是微小粒子或者顆粒在流體中做的無規則運動。布朗運動過程是一種正態分布的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動W(t)是期望為0、方差為t（時間）的正態隨機變量。對於任意的r小於等於s，W(t)-W(s)獨立於的W(r)，且是期望為0、方差為t-s的正態隨機變量。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。

此條目介紹的是布朗運動。關於隨機的過程，請見「維納過程」。關於熱力學的角度的定義，請見「熱力學溫度」。關於內部能量，請見「能量均分定理」。關於數學模型，請見「隨機遊走」。

模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動。

粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。

它是在西元1827年^[1]英國植物學家羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10^-8厘米。

定義

自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：^[2]

1. 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
2. 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
5. 粒子的運動永不停止。

愛因斯坦的理論

在1905年，愛因斯坦提出了相關理論。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德羅定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德羅常數」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德羅常數等同原子量。

愛因斯坦論證的第一部分是，確定布朗粒子在一定的時間內運動的距離。^{[3][來源請求]} 經典力學無法確定這個距離，因為布朗粒子將會受到大量的撞擊，每秒大約發生 10¹⁴ 次撞擊。^[4] 因此，愛因斯坦將之簡化，即討論一個布朗粒子團的運動^{[來源請求]}。

他把粒子在一個的空間中，把布朗粒子在一維方向上的運動增量 (x) 視作一個隨機值（${\displaystyle \Delta }$ 或者 x，並對其坐標進行變換，讓原點成為粒子運動的初始位置）並給出概率密度函數 ${\displaystyle \varphi (\Delta )}$。另外，他假設粒子的數量有限，並擴大了密度（單位體積內粒子數量)，展開成泰勒級數 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}}$

第一行中的第二個等式是被 ${\displaystyle \varphi }$ 這個函數定義的。第一項中的積分等於一個由概率定義函數，第二項和其他偶數項（即第一項和其他奇數項）由於空間對稱性而消失。化簡可以得到以下關係關係：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项 )}}}$

拉普拉斯算子之前的係數，是下一刻的隨機位移量 ${\displaystyle \Delta }$，讓 D 為質量擴散係數：

${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta }$

那麼在 t 時刻 x 處的布朗粒子密度 ρ 滿足擴散方程：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$

假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解

${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.}$

數學模型

定義

滿足下列條件的鞅我們稱之為布朗運動

1. 這個鞅是關於時間連續的。
2. 他的平方減去時間項也是一個鞅。

${\displaystyle (M_{t})}$是一個布朗運動當且僅當${\displaystyle (M_{t})}$為鞅，且${\displaystyle (M_{t}^{2}-t)}$也為鞅.

其他定義

3000步的2維布朗運動的模擬。

1000步的3維布朗運動模擬。

一維的定義

一維布朗運動${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$是關於時間t的一個隨機過程，他滿足 ：

1. （獨立增量）設時間t和s滿足t > s,增量${\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}$獨立於時間s前的過程${\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$。
2. （穩定增量和正態性）設時間t和s滿足t > s,增量${\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}$服從均值為0方差為t−s的正態分布。
3. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$幾乎處處連續， 也就是說在任何可能性下， 函數${\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$是連續的.
4. 通常假設${\displaystyle \scriptstyle B_{0}=0}$。這種布朗運動我們稱它為標準的。

等價定義

一維布朗運動${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$是關於時間t的一個隨機過程，他滿足 ：

1. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$是一個高斯過程，也就是說對於所有的時間列：${\displaystyle \scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}}$,隨機向量：${\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}$服從高維高斯分布（正態分布）。
2. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$幾乎處處連續。
3. 對於所有s和t,均值${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}$，協方差${\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}$.

高維定義

${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}}$是d維布朗運動，只需滿足${\displaystyle \scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}$為獨立的布朗運動。

換句話說，d維布朗運動 取值於${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{d}}$，而它在${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}}$空間上的投影均為布朗運動。

Wiener測度的定義

設${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$為從${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+}}$到${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$的連續函數空間，${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )}$為概率空間。布朗運動為映射

${\displaystyle B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$

          ${\displaystyle \omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)}$.

Wiener測度 （或稱為布朗運動的分布）設為${\displaystyle \scriptstyle W(d\omega )}$,是映射B關於${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )}$的圖測度。

換句話說， W是${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$上的一個概率測度，滿足對於任何${\displaystyle \scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$，有

${\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)}$。

備忘

• 布朗運動是一種增量服從正態分布的萊維過程。
• 這個定義可以幫助我們證明布朗運動的很多特性，比如幾乎處處連續，軌跡幾乎處處不可微等等。
• 我們可以利用二次變差的期望為時間來等價定義布朗運動。這個定義由Levy定理演化而來， 即： 軌跡連續且二次變差為${\displaystyle t}$的隨機過程為布朗運動。

性質

• 布朗運動的軌道幾乎處處不可微：對於任何${\displaystyle \scriptstyle \omega \in \Omega }$,軌道${\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$為一個連續但是零可微的函數。
• 協方差${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}$。
• 布朗運動具有強馬氏性： 對於停時T,取條件${\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]}$,過程${\displaystyle \scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}}$為一個獨立於${\displaystyle \scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}}$的布朗運動。
• 它的Fourier變換或特徵函數為${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}$。可見，布朗運動是一個無偏，無跳躍，二項係數為1/2的Levy過程。
• 布朗運動關於時間是齊次的： 對於s > 0, ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}}$是一個獨立於${\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$的布朗運動。
• -B是一個布朗運動。
• （穩定性） 對於c > 0， ${\displaystyle \scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}}$是布朗運動。
• （時間可逆性）${\displaystyle \scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}}$在t=0之外是布朗運動。
• （常返性）只有1維和2維布朗運動是常返的：

      如果${\displaystyle \scriptstyle d\in \{1,2\}}$,集合${\displaystyle \scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}}$不是有界的，對於任何${\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$，

      如果${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty }$（幾乎處處）。

• （反射原理）

${\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}$

布朗運動的數學構造

利用Kolmogorov一致性定理

設${\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}}$為${\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}$空間中一列實值函數。設：

${\displaystyle \forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx}$

這列函數滿足：

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}}$，任意的${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}}$,矩陣${\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}$為對稱半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我們可以構造高斯過程${\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$，它的均值${\displaystyle m}$任意， 協方差為上面定義的${\displaystyle s}$。

當${\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$，${\displaystyle c>0}$為不依賴於t的常數，${\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}}$為${\displaystyle [0,t]}$上的示性函數。則：

${\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)}$

在這個情況下，矩陣${\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}$是對稱且正定的。

我們稱一個高斯過程為 布朗運動當且僅當均值為0，協方差為s。${\displaystyle c=Var(B_{1})}$，當${\displaystyle c=1}$時， 稱之為 標準的布朗運動.

利用隨機過程

Donsker定理（1951）證明了逐漸歸一化的隨機遊走弱收斂於布朗運動。

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}$

其中（U_n, n ≥ 1） 獨立同分布， 均值為0,方差為σ的隨機變量序列。

利用傅立葉級數

設2列獨立的正態${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$隨機變量序列${\displaystyle \scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )}$和${\displaystyle \scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )}$。定義${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$：

${\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)}$

為布朗運動。

爭議

對於布朗運動之誤解

值得注意的是，布朗運動指的是花粉迸出的微粒的隨機運動，而不是分子的隨機運動。但是通過布朗運動的現象可以間接證明分子的無規則運動。^{[來源請求]}

一般而言，花粉之直徑分布於30～50μm、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在羅伯特·布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。^{[來源請求]}

花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運動。

在日本，以鶴田憲次『物理學叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辭典』^[5]、花輪重雄『物理學読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理學原論（上）』、平凡社『理科辭典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。^{[來源請求]}

直到1973年橫浜市立大學名譽教授植物學者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。國立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。^{[來源請求]}

參見

• 維納過程

腳註

1. 部分紀錄為1828年。
2. 李育嘉. 漫談布朗運動. [2012-12-14]. （原始內容存檔於2019-07-18）.
3. BROWNIAN MOTION. : 5.
4. Feynman, R. The Brownian Movement. The Feynman Lectures of Physics, Volume I. 1964: 41-1 [2018-02-05]. （原始內容存檔於2021-02-14）.
5. 該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。

外部連結

• 漫談布朗運動 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Brownian motion - an overview