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可測函數(英語:measurable function)是保持可測空間結構的函數,也是勒貝格積分中主要討論的函數。

正式定義

可測函數的定義 — 可測空間。那函數 對任意 若滿足:

則稱 為一個 - 可測函數

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重要範例

實可測函數

取本節定義中的 實數系 ,然後取:

換句話說, 是由實數開區間所生成的博雷爾代數(注意到 本身是個拓撲基),那麼這樣的 - 可測函數 ,通常會簡稱為 - 實可測函數;甚至簡稱為實可測函數概率論裡的隨機變量就是實可測函數。

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博雷爾函數

如果 正好也是拓撲空間,這時取以下兩個最小σ-代數

換句話說, 是由 開集所生成的博雷爾代數 是由 開集所生成的博雷爾代數,那這樣 - 可測函數 又稱為 - 博雷爾函數(Borel function)。

根據拓撲空間連續函數的定義, - 博雷爾函數必定 - 連續,但反之不成立,原因可見下面可測函數的性質的定理(2)。

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可測函數的性質

定理(1) — 可測空間 為一集合,且有函數 。那

σ代數

更多信息 以下將逐條檢驗 ...
證明

以下將逐條檢驗 是否符合σ代數的定義

(1)

因為:

所以

(2) ,則

,因為:

所以

(3)可數個併集仍在

,那因為:

所以

綜上所述, 的確是σ代數

关闭

定理(2) — 可測空間集合 的一個子集族 ,那對函數 來說,以下兩敘述等價:

  1. 對所有
  2. - 可測函數
更多信息 (1 ...
證明

(1 2)

若對所有 都有:

換句話說:

那根據本節之定理(1)和最小σ代數 的定義有:

換句話說,只要 就有 ,故 - 可測函數。

(2 1)

若對所有 都有 ,換句話說:

這樣的話,的確可以從 推出

关闭

定理(3) — 可測空間拓撲空間,若: [1]

  • - 可測函數
  • - 連續函數

複合函數 - 可測函數。

更多信息 根據定理(2), ...
證明

根據定理(2), - 可測函數等價於:

「對所有的

但因為 - 連續函數,故:

「對所有的

又為 - 可測函數,故可以得到 ,所以本定理得証。

关闭
  • 兩個可測的實函數的和與積也是可測的。
  • 可數個實可測函數的最小上界也是可測的。
  • 可測函數的逐點極限是可測的。(連續函數的對應命題需要比逐點收斂更強的條件,例如一致收斂。)
  • 盧辛定理


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勒貝格可測函數

勒貝格可測函數是一個實函數f : RR,使得對於每一個實數a,集合

都是勒貝格可測的集合。勒貝格可測函數的一個有用的特徵,是f是可測的當且僅當mid{-g,f,g}對於所有非負的勒貝格可積函數g都是可積的。

不可測函數

不是所有的函數都是可測的。例如,如果是實數軸的一個不可測子集,那麼它的指示函數是不可測的。

參見

參考文獻

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