轉置矩陣

在線性代數中，矩陣A的轉置（英語：transpose）是另一個矩陣A^T（也寫做A^tr, ^tA, A^t或A′）由下列等價動作建立：

• 把A的行寫為A^T的列
• 把A的列寫為A^T的行

提示：此條目頁的主題不是轉移矩陣。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣
向量 標量 · 向量 · 向量空間 · 向量投影 · 外積（叉積 · 七維叉積） · 內積（點積） · 二重向量 矩陣與行列式 矩陣 · 行列式 · 線性方程組 · 秩 · 核 · 跡 · 單位矩陣 · 初等矩陣 · 方塊矩陣 · 分塊矩陣 · 三角矩陣 · 非奇異方陣 · 轉置矩陣 · 逆矩陣 · 對角矩陣 · 可對角化矩陣 · 對稱矩陣 · 反對稱矩陣 · 正交矩陣 · 幺正矩陣 · 埃爾米特矩陣 · 反埃爾米特矩陣 · 正規矩陣 · 伴隨矩陣 · 余因子矩陣 · 共軛轉置 · 正定矩陣 · 冪零矩陣 · 矩陣分解 （LU分解 · 奇異值分解 · QR分解 · 極分解 · 特徵分解） · 子式和餘子式 · 拉普拉斯展開 · 克羅內克積 線性空間與線性變換 線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性映射 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
閱 論 編

矩陣A的轉置A^T的取得方法。重覆以上動作會得出原本的矩陣

形式上說，m × n矩陣A的轉置是n × m矩陣

${\displaystyle A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}}$ for ${\displaystyle 1\leq i\leq n,}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$。

注意：${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$（轉置矩陣）與${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$（逆矩陣）不同。

例子

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

性質

對於矩陣A, B和標量c轉置有下列性質：

• ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad }$

  轉置是自身逆運算。

• ${\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}$

  轉置是從m × n矩陣的向量空間到所有n × m矩陣的向量空間的線性映射。

• ${\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}$

  注意因子反轉的次序。以此可推出方塊矩陣A是可逆矩陣，當且僅當A^T是可逆矩陣，在這種情況下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。相對容易的把這個結果擴展到矩陣相乘的一般情況，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。

• ${\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }}$

  標量的轉置是同樣的標量。

• ${\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}$

  矩陣的轉置矩陣的行列式等於這個矩陣的行列式。

• 兩個縱列向量a和b的內積可計算為

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$

• 如果A只有實數元素，則A^TA是半正定矩陣。
• 如果A是在某個域上，則A 相似於A^T。

特殊轉置矩陣

其轉置等於自身的方塊矩陣叫做對稱矩陣；就是說A是對稱的，如果

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A}$。

其轉置也是它的逆矩陣的方塊矩陣叫做正交矩陣；就是說G是正交的，如果

${\displaystyle GG^{\mathrm {T} }=G^{\mathrm {T} }G=I_{n},\,}$ I是單位矩陣。

其轉置等於它的負矩陣的方塊矩陣叫做斜對稱矩陣；就是A是斜對稱的，如果

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=-A}$。

複數矩陣A的共軛轉置，寫為A^H，是A的轉置後再取每個元素的共軛複數:

${\displaystyle A^{H}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {(A^{\mathrm {T} })}}}$

線性映射的轉置

如果f: V→W是在向量空間V和W之間非退化雙線性形式的線性映射，我們定義f的轉置為線性映射^tf : W→V，確定自

${\displaystyle B_{V}(v,{}^{t}f(w))=B_{W}(f(v),w)\quad \forall \ v\in V,w\in W}$

這裡的，B_V和B_W分別是在V和W上的雙線性形式。一個映射的轉置的矩陣是轉置矩陣，只要基是關於它們的雙線性形式是正交的。

在復向量空間上，經常用到半雙線性形式來替代雙線性形式。在這種空間之間的映射的轉置可類似的定義，轉置映射的矩陣由共軛轉置矩陣給出，如果基是正交的。在這種情況下，轉置也叫做埃爾米特伴隨。

如果V和W沒有雙線性形式，則線性映射f: V→W的轉置只能定義為在對偶空間W和V之間的線性映射 ^tf : W^*→V^*。

參考資料

外部連結

• MIT Video Lecture on Matrix Transposes at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Transpose （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, mathworld.wolfram.com
• Transpose （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, planetmath.org