雙線性形式

在域${\displaystyle F}$中，向量空間${\displaystyle V}$的雙線性形式指的是一個${\displaystyle V\times V\rightarrow F}$上的線性函數${\displaystyle B}$，滿足：

${\displaystyle \forall v\in V}$，映射：

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$

${\displaystyle w\mapsto B(w,v)}$

都是線性的。這個定義也適用於交換環的模，這時線性函數要改為模同態。

注意一個雙線性形式是特別的雙線性映射。

坐標表示法

如果${\displaystyle V}$是n維向量空間，設${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$是${\displaystyle V}$的一組基。定義${\displaystyle n\times n}$ 階的矩陣${\displaystyle A}$使得${\displaystyle (A_{ij})=B(e_{i},e_{j})}$。當${\displaystyle n\times 1}$ 的矩陣${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$表示向量${\displaystyle u}$及${\displaystyle v}$時，雙線性形式${\displaystyle B}$可表示為:

${\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }$

考慮另一組基 ${\displaystyle C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$ ，其中S是一個可逆的${\displaystyle n\times n}$ 階矩陣（基底轉換矩陣），則雙線性形式在${\displaystyle C'}$下的矩陣${\displaystyle A'}$的形式為：

${\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}$

對偶空間映射

${\displaystyle {\textbf {V}}}$的每一個雙線性形式${\displaystyle B}$都定義了一對由${\displaystyle V}$射到它的對偶空間${\displaystyle V^{*}}$的線性函數。 定義${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ ：

${\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}$

常常記作：

${\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,}$

這裡的(–)是放變量的位置。

如果${\displaystyle V}$是有限維空間的話，${\displaystyle V}$和它的雙對偶空間${\displaystyle V^{**}}$是同構的，這時${\displaystyle B_{2}}$是${\displaystyle B_{1}}$的轉置映射（如果${\displaystyle V}$是無限維空間，${\displaystyle B_{2}}$限制在${\displaystyle V}$在${\displaystyle V^{**}}$的像下的部分是${\displaystyle B_{1}}$的轉置映射）。 定義${\displaystyle B}$的轉置映射為雙線性形式：

${\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,}$

如果${\displaystyle V}$是有限維空間，${\displaystyle B_{1}}$及${\displaystyle B_{2}}$的秩相等。如果他們的秩等於${\displaystyle V}$的維數的話，${\displaystyle B_{1}}$和${\displaystyle B_{2}}$就是由${\displaystyle V}$到${\displaystyle V^{*}}$的同構映射（顯然${\displaystyle B_{1}}$是同構當且僅當${\displaystyle B_{2}}$是同構），此時，${\displaystyle B}$是非退化的。實際上在有限維空間裡，這常常作為非退化的定義：${\displaystyle B}$是非退化的當且僅當

${\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}$

鏡像對稱性和正交性

雙線性形式${\displaystyle B:V\times V\rightarrow F}$是鏡像對稱的當且僅當:

${\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}$

有了鏡像對稱性，就可以定義正交：兩個向量${\displaystyle v}$和${\displaystyle w}$關於一個鏡像對稱的雙線性形式正交當且僅當：

${\displaystyle B(v,w)=0\,}$ 。

一個雙線性形式的根是指與所有其他向量都正交的向量的集合。一個矩陣表示為${\displaystyle x}$的向量${\displaystyle v}$屬於雙線性形式的根當且僅當${\displaystyle Ax=0\,}$（等價於${\displaystyle x^{T}A=0\,}$），根一般是${\displaystyle V}$的子空間，

當${\displaystyle A}$是非奇異矩陣，即當${\displaystyle B}$是非退化時，根都是零子空間${\displaystyle \{0\}}$。

設${\displaystyle W}$是一個子空間，定義${\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}}$。

當${\displaystyle B}$是非退化時，映射${\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }}$是雙射，所以${\displaystyle W^{\perp }}$的維數等於${\displaystyle \dim(V)-\dim(W)}$。

可以證明，雙線性形式${\displaystyle B}$是鏡像對稱的當且僅當它是以下兩者之一：

• 對稱的：${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)\,}$ ${\displaystyle \forall v,w\in V\,}$
• 交替(alternating)的：${\displaystyle B(v,v)=0\,}$ ${\displaystyle \forall v\in V\,}$

每個交替形式都是斜對稱(skew-symmetric)（或稱反對稱(antisymmetric)）的，只要展開

${\displaystyle B(v+w,v+w)}$就可看出。

當${\displaystyle F}$的特徵不為2時，逆命題也是真的。斜對稱的形式必定交替。然而，當${\displaystyle {\text{char}}(F)=2}$時，斜對稱就是對稱，因此不全是交替的。

一個雙線性形式是對稱的(反對稱的)當且僅當它對應的矩陣是對稱的(反對稱的)。一個雙線性形式是交替的當且僅當它對應的矩陣是反對稱的，且主對角線上都是零。（在F的特徵不為2時的情況下）

一個雙線性形式是對稱的當且僅當${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ 相等，是旋鈕對稱的當且僅當${\displaystyle B_{1}=-B_{2}}$。${\displaystyle {\text{char}}(F)\neq 2}$時，一個雙線性形式可以按成對稱和反對稱部分分解：

${\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})}$

其中${\displaystyle B^{*}}$是${\displaystyle B}$的轉置映射。

不同空間的推廣

這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

${\displaystyle B:V\times W\rightarrow F}$。

此時仍有從${\displaystyle V}$到${\displaystyle W}$的對偶、及從${\displaystyle W}$到${\displaystyle V}$的對偶的映射。當${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下${\displaystyle B}$稱作完美配對。

張量積關係

由張量積的泛性質，${\displaystyle V}$ 上的雙線性形式一一對映至線性映射 ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow F}$：若 ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle V}$ 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

${\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}$

所有從 ${\displaystyle V\otimes V}$ 到 ${\displaystyle F}$ 的線性映射構成 ${\displaystyle V\otimes V}$ 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

${\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.}$

同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 ${\displaystyle S^{2}V^{*}}$的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪${\displaystyle \Lambda ^{2}V^{*}}$的元素。

參見

• 雙線性映射
• 多線性映射
• 二次方程式
• 半雙線性形式

外部連結

• Bilinear form. PlanetMath.