雙線性形式

在域 F 中,向量空間 V 的雙線性形式指的是一個V × V → F 上的線性函數 B, 滿足：

${\displaystyle \forall v\in V}$，映射：

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$

${\displaystyle w\mapsto B(w,v)}$

都是線性的。這個定義也適用於交換環的模，這時線性函數要改為模同態。

注意一個雙線性形式是特別的雙線性映射。

坐標表示法

如果V是n維向量空間，設${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$是V的一組基。定義${\displaystyle n\times n}$ 階的矩陣A使得${\displaystyle (A_{ij})=B(e_{i},e_{j})}$。當${\displaystyle n\times 1}$ 的矩陣x和y表示向量u及v時，雙線性形式B可表示為:

${\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} }$

考慮另一組基 ${\displaystyle C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$ ，其中S是一個可逆的${\displaystyle n\times n}$ 階矩陣（基底轉換矩陣），則雙線性形式在${\displaystyle C'}$下的矩陣${\displaystyle A'}$的形式為：

${\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S}$

對偶空間映射

V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的對偶空間V*的線性函數。 定義${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ ：

${\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,}$

常常記作：

${\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,}$

${\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,}$

這裡的(–)是放變量的位置。

如果 V是有限維空間的話，V和它的雙對偶空間V**是同構的，這時B₂是B₁ 的轉置映射（如果V是無限維空間，B₂限制在V在V**的像下的部分是B₁ 的轉置映射）。 定義B的轉置映射為雙線性形式：

${\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,}$

如果 V是有限維空間，B₁ 及B₂ 的秩相等。如果他們的秩等於V的維數的話，B₁ 和 B₂ 就是由V到V*的同構映射（顯然B₁是同構當且僅當B₂ 是同構），此時，B是非退化的。實際上在有限維空間裡，這常常作為非退化的定義：B是非退化的當且僅當

${\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.}$

鏡像對稱性和正交性

雙線性形式 B : V × V → F 是鏡像對稱的當且僅當:

${\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0}$

有了鏡像對稱性，就可以定義正交：兩個向量v和w關於一個鏡像對稱的雙線性形式正交當且僅當：

${\displaystyle B(v,w)=0\,}$ 。

一個雙線性形式的根是指與所有其他向量都正交的向量的集合。一個矩陣表示為x的向量v屬於雙線性形式的根當且僅當${\displaystyle Ax=0\,}$（等價於${\displaystyle x^{T}A=0\,}$），根一般是V的子空間，

當A是非奇異矩陣，即當B是非退化時，根都是零子空間{0}。

設W是一個子空間，定義${\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}}$。

當B是非退化時，映射${\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }}$是雙射，所以${\displaystyle W^{\perp }}$的維數等於dim(V)-dim(W)。

可以證明，雙線性形式B是鏡像對稱的當且僅當它是以下兩者之一：

• 對稱的: ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)\,}$ ${\displaystyle \forall v,w\in V\,}$
• 交替(alternating)的: ${\displaystyle B(v,v)=0\,}$ ${\displaystyle \forall v\in V\,}$

每個交替形式都是斜對稱(skew-symmetric)（或稱反對稱(antisymmetric)）的，只要展開

B(v+w,v+w)就可看出。

當F的特徵不為2時，逆命題也是真的。斜對稱的形式必定交替。然而，當char(F)=2時，斜對稱就是對稱，因此不全是交替的。

一個雙線性形式是對稱的(反對稱的)當且僅當它對應的矩陣是對稱的(反對稱的)。一個雙線性形式是交替的當且僅當它對應的矩陣是反對稱的，且主對角線上都是零。（在F的特徵不為2時的情況下）

一個雙線性形式是對稱的當且僅當${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}}$ 相等，是旋鈕對稱的當且僅當${\displaystyle B_{1}=-B_{2}}$。char(F) ≠ 2 時，一個雙線性形式可以按成對稱和反對稱部分分解：

${\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})}$

其中B* 是B 的轉置映射。

不同空間的推廣

這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

B: V × W → F.

此時仍有從 V 到 W 的對偶、及從 W 到 V 的對偶的映射。當 V, W 皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下 B 稱作完美配對。

張量積關係

由張量積的泛性質，${\displaystyle V}$ 上的雙線性形式一一對映至線性映射 ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow F}$：若 ${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle V}$ 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

${\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).}$

所有從 ${\displaystyle V\otimes V}$ 到 ${\displaystyle F}$ 的線性映射構成 ${\displaystyle V\otimes V}$ 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

${\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.}$

同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S²V* 的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ²V* 的元素。

參見

• 雙線性映射
• 多線性映射
• 二次方程式
• 半雙線性形式

外部連結

• Bilinear form. PlanetMath.