半雙線性形式

在數學中，在複數向量空間V上的半雙線性形式是映射V × V → C，它在一個參數上是線性的而在另一個參數上是反線性（半線性）的。比較於雙線性形式，它在兩個參數上都是線性的；要注意很多作者尤其是在只處理複數情況的時候，把半雙線性形式稱為雙線性形式。

一個主要例子是在複數向量空間上的內積，它不是雙線性的而是半雙線性的。

定義和習慣

對哪個參數應當是線性的有不同的習慣。這裡採用第一個是半線性（共軛線性）而第二個參數是線性。基本上所有物理學家皆使用這習慣，這習慣起源於狄拉克在量子力學中使用的狄拉克符號。數學家則可能使用相反的習慣。

指定映射φ : V × V → C是半雙線性的，如果

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi (x+y,z+w)=\phi (x,z)+\phi (x,w)+\phi (y,z)+\phi (y,w)\\&\phi (ax,by)={\bar {a}}b\,\phi (x,y)\end{aligned}}}$

對於所有x,y,z,w ∈ V和所有a, b ∈ C。

半雙線性形式可以被看作雙線性形式

${\displaystyle {\bar {V}}\times V\to \mathbb {C} }$

這裡的${\displaystyle {\bar {V}}}$是V的複共軛向量空間。通過張量積的泛性質，它一一對應於(複數)線性映射

${\displaystyle {\bar {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .}$

對於V中固定的z，映射${\displaystyle w\mapsto \phi (z,w)}$是在V上的線性泛函（也就是對偶空間V* 的一個元素）。類似的，映射${\displaystyle w\mapsto \phi (w,z)}$是V上的共軛線性泛函。

給定V上任何半雙線性形式φ，我們可以通過共軛轉置定義第二個半雙線性形式ψ：

${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\phi (z,w)}}}$

一般而言，ψ和φ是不同的。如果它們相等，則φ被稱為Hermitian形式。如果它們相互為負值，則φ被稱為斜-Hermitian形式。所有半雙線性形式可以寫為一個Hermitian形式和一個斜-Hermitian形式的和。

幾何動機

雙線性形式一般化了平方（${\displaystyle z^{2}\,}$），而半雙線性形式一般化了歐幾里得範數（${\displaystyle |z|^{2}=z^{*}z\,}$）。

關聯於半雙線性形式的範數在乘以複數圓（單位範數的複數）的乘法下是不變的，而關聯於雙線性形式的範數是（關於平方）等變的。雙線性形式在代數上更加自然，而半雙線性在幾何上更加自然。

如果B是在複數向量空間上的雙線性形式而 ${\displaystyle |x|_{B}:=B(x,x)\,}$是關聯的範數，則 ${\displaystyle |ix|_{B}=B(ix,ix)=i^{2}B(x,x)=-|x|_{B}\,}$。

相反的，如果S是在複數向量空間上的半雙線性形式而 ${\displaystyle |x|_{S}:=S(x,x)\,}$是關聯的範數，則 ${\displaystyle |ix|_{S}=S(ix,ix)={\bar {i}}iS(x,x)=|x|_{S}\,}$。

埃爾米特形式

這個術語還稱呼在埃爾米特流形上的特定微分形式。

埃爾米特形式（也叫做對稱半雙線性形式）是半雙線性形式h : V × V → C，有着

${\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}}$

在Cⁿ上的標準埃爾米特形式為

${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$

更一般的說，在任何希爾伯特空間上的內積都是埃爾米特形式。

如果V是有限維的空間，則相對於V的任何基{e_i}，埃爾米特形式可表示為埃爾米特矩陣H：

${\displaystyle h(w,z)={\overline {\mathbf {w} }}^{T}\mathbf {Hz} }$

H的分量給出為H_ij = h(e_i, e_j)。

關聯於埃爾米特形式的二次形式

Q(z) = h(z,z)

總是實數的。實際上可證明半雙線性形式是埃爾米特形式，當且僅當關聯的二次形式是實數的，對於所有z ∈ V。

斜-埃爾米特形式

斜-埃爾米特形式（也叫做反對稱半雙線性形式）是半雙線性形式ε : V × V → C，有着

${\displaystyle \varepsilon (w,z)=-{\overline {\varepsilon (z,w)}}}$

所有斜埃爾米特形式可以寫為i乘以埃爾米特形式。

如果V是有限維空間，則相對於任何V的基{e_i}，斜埃爾米特形式可表示為斜埃爾米特矩陣A：

${\displaystyle \varepsilon (w,z)={\overline {\mathbf {w} }}^{T}\mathbf {Az} }$

關聯於斜埃爾米特形式的二次形式

Q(z) = ε(z,z)

總是純虛數。