有理數

在數學中，我們將可以表為兩個整數比值（${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$，其中 ${\displaystyle b\neq 0}$）的數稱作有理數（英語：rational number）。例如 ${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$、0.75（即 ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$）均為有理數。由於每個整數 ${\displaystyle n}$ 均能寫作 ${\displaystyle {\frac {n}{1}}}$，整數皆為有理數。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

實數（ℝ）包括有理數（ℚ），其中包括整數（ℤ），其中包括自然數（ℕ）

不為有理數的實數稱作無理數，如 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 即為無理數。

要注意並非所有以分數表示的數字皆為有理數（例如 ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 並不是有理數）。

所有有理數構成的集合常寫作 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$，其定義為：

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}$

有理數寫作小數時，為有限小數或無限循環小數。

詞源

有理數在英文中稱作rational number，來自拉丁語rationalis，意為理性的；詞根ratio，拉丁語意為理性、計算。^[1]代表「比例」的英文ratio一詞在歷史上出現得要比有理數（rational number）一詞更晚，前者最早有記錄是1660，而後者是1570年。^[2][3]

運算

有理數集對加、減、乘、除四則運算是封閉的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、減、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理數的加法和乘法如下：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

兩個有理數 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 和 ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ 相等的充要條件為 ${\displaystyle ad=bc}$。

有理數中存在加法反元素與乘法反元素（除了 0 以外，0 不具乘法反元素）：

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}$時，${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}$

兩數相乘，同號得正異號得負，並把絕對值相乘。

古埃及分數

主條目：古埃及分數

古埃及分數是分子為1、分母為正整數的有理數。每個有理數都可以表達為有限個兩兩不等的古埃及分數的和。例如：

${\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}$

對於給定的正有理數，存在無窮多種表達成有限個兩兩不等的古埃及分數之和的方法。

形式構建

數學上可以將有理數定義為建立在整數的有序對上${\displaystyle \left(a,b\right)}$的等價類，這裡${\displaystyle b,d}$不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法，規則如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}$

${\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}$

為了使${\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$，定義等價關係${\displaystyle \sim }$如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}$

這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的，而且可以將Q定義為整數有序對關於等價關係~的商集：${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }$。例如：兩個對${\displaystyle (a,b)}$和${\displaystyle (c,d)}$是相同的，如果它們滿足上述等式。（這種構建可用於任何整數環，參見商域。）

定義大小

Q上的大小可以定義為：

${\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}$當且僅當下列任一條件成立：

1. ${\displaystyle bd>0}$並且${\displaystyle ad\leq bc}$
2. ${\displaystyle bd<0}$並且${\displaystyle ad\geq bc}$

然後${\displaystyle x<y}$是指${\displaystyle x\leq y}$但${\displaystyle y\nleq x}$。亦可在「小於」概念之上引入「大於」的概念，即：${\displaystyle a<b}$當且僅當${\displaystyle b>a}$。此排序中，每一對有理數${\displaystyle a,b}$之間皆可比較，必有且僅有以下關係之一：

${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle a>b}$，${\displaystyle a<b}$。

又滿足傳遞性：若${\displaystyle a<b}$，且${\displaystyle b<c}$，則${\displaystyle a<c}$。所以以上定義的大小關係是全序關係。

有理數集的序還滿足稠密性（英語：dense order）：若${\displaystyle a<b}$，則必存在有理數${\displaystyle c}$，滿足${\displaystyle a<c}$，且${\displaystyle c<b}$。^[4]

性質

有理數集是可數的

集合${\displaystyle \mathbb {Q} }$，以及上述的加法和乘法運算，構成域，即整數${\displaystyle \mathbb {Z} }$的商域。

有理數是特徵為0的域最小的一個：所有其他特徵為0的域都包含${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一個拷貝（即存在一個從${\displaystyle \mathbb {Q} }$到其中的同構映射）。

${\displaystyle \mathbb {Q} }$的代數閉包，例如有理數多項式的根的域，是代數數域。

所有有理數的集合是可數的，亦即是說${\displaystyle \mathbb {Q} }$的基數（或勢）與自然數集合${\displaystyle \mathbb {N} }$相同，都是阿列夫數${\displaystyle \aleph _{0}}$，這是因為可以定義一個從有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$映至自然數集合的笛卡爾積${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$的單射函數，而${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$是可數集合之故。因為所有實數的集合是不可數的，所以從勒貝格測度來看，可以認為絕大多數實數不是有理數。

有理數的序是個稠密序（英語：dense order）：任何兩個有理數之間存在另一個有理數，事實上是存在無窮多個。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托爾同構定理（英語：Cantor's isomorphism theorem）說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

實數

有理數是實數的稠密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。

依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。採用度量${\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}$，有理數構成一個度量空間，這是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的第三個拓撲。幸運的是，所有三個拓撲一致並將有理數轉化到一個拓撲域。有理數是非局部緊緻空間的一個重要的實例。這個空間也是完全不連通的。有理數不構成完備的度量空間；實數是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的完備集。

p進數

除了上述的絕對值度量，還有其他的度量將${\displaystyle \mathbb {Q} }$轉化到拓撲域：

設${\displaystyle p}$是素數，對任何非零整數${\displaystyle a}$設${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}$，這裡${\displaystyle p^{n}}$是整除${\displaystyle a}$的${\displaystyle p}$的最高次冪；

另外${\displaystyle |0|_{p}=0}$。對任何有理數${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$，設${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}$。

則${\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}$在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上定義了一個度量。

度量空間${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}$不完備，它的完備集是p進數域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。

參見

• 浮點數
• 尼雲定理

參考文獻

1. 三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の歴史 - 何ゆえ有理数と呼ぶか ? - 名前の由来 -. asait.world.coocan.jp. [2020-10-09]. （原始內容存檔於2016-01-12）.
2. Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989. Entry ratio, n., sense 2.a.
3. Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989. Entry rational, a. (adv.) and n.¹, sense 5.a.
4. 菲赫金哥爾茨; 楊弢亮 譯; 葉彥謙 譯; 郭思旭 校. 微积分学教程（第一卷） 第8版. 高等教育出版社. : 2. ISBN 5-9221-0436-5.