豪斯霍爾德變換

豪斯霍爾德變換（Householder transformation）或譯「豪斯霍德轉換」^[1]，又稱初等反射（Elementary reflection），最初由A.C Aitken在1932年提出^[2]。阿爾斯通·斯科特·豪斯霍爾德在1958年指出了這一變換在數值線性代數上的意義^[3]。這一變換將一個向量變換為由一個超平面反射的鏡像，是一種線性變換。其變換矩陣被稱作豪斯霍爾德矩陣，在一般內積空間中的類比被稱作豪斯霍爾德算子（英語：Householder operator）。超平面的法向量被稱作豪斯霍爾德向量。

定義

豪斯霍爾德變換示意圖：向量x在豪斯霍爾德向量v的超平面${\displaystyle \mathbf {v} ^{\perp }}$上的鏡像是Hx，H是豪斯霍爾德矩陣。

如果 ${\displaystyle v}$ 給出為單位向量而 ${\displaystyle I}$ 是單位矩陣，則描述上述線性變換的是 豪斯霍爾德矩陣 （${\displaystyle v^{*}}$ 表示向量 ${\displaystyle v}$ 的共軛轉置）

${\displaystyle H=I-2vv^{*}.\,}$

性質

豪斯霍爾德矩陣${\displaystyle H}$有如下性質:

• 它是對稱矩陣，即 ${\displaystyle H^{T}=H}$
• 它是正交矩陣，即 ${\displaystyle H^{T}=H^{-1}}$
• 它是埃爾米特矩陣，即 ${\displaystyle H^{*}\ =H}$
• 它是對合的，即 ${\displaystyle H^{2}=I\ }$

進一步的，${\displaystyle H}$ 實際上按上面描述的那樣反射了點 ${\displaystyle X}$ (用它的位置向量 ${\displaystyle x}$ 來識別)，因為

${\displaystyle Hx=x-2vv^{*}x=x-2\langle v,x\rangle v,}$

這裡的 ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ 表示內積。注意 ${\displaystyle \langle v,x\rangle }$ 等於從 X 到超平面的距離。

應用

豪斯霍爾德變換可以將向量的某些元素置零，同時保持該向量的範數不變。例如，將非零列向量${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{T}}$變換為單位基向量${\displaystyle \mathbf {e} =[1,0,\ldots ,0]^{T}}$乘以一個常數的豪斯霍爾德矩陣為

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {I} -{\frac {2}{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {vv} ^{H}}$

其中豪斯霍爾德向量${\displaystyle \mathbf {v} }$滿足：

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} +{\rm {{sgn}(x_{1})\Vert x\Vert _{2}\mathbf {e} _{1}.\,}}}$

Dubrulle 在2000年給出了將豪斯霍爾德變換應用於生成一個一般的稀疏向量的一個數值穩定的算法^[4]。

對一個矩陣的各個列向量逐一進行相應的豪斯霍爾德變換，可以將這個矩陣變換為上海森伯格矩陣、上三角矩陣等形式^[5]。後者就是QR分解的豪斯霍爾德算法。

參考文獻

1. 胡家彰. MIMO通訊系統之低複雜度天線選擇 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
2. H.W. Turnbull, A.C. Aitken, An Introduction to the Theory of Canonical Matrices, Blackie, London: Glasgrow, 1932
3. Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947
4. A.A. Dubrulle, Householder Transformations Revisited, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001
5. David D. Morrison, Remarks on the Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 7 (2), 1960, 185-186. DOI:10.1145/321021.321030

參見

• 線性變換
• 數值計算
• Givens旋轉
• QR分解

外部連結

• Householder's Method
• Householder Transformations