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英文:series 来自维基百科,自由的百科全书
級數(英語:Series)代表某序列之和,例如序列的級數可以表示成,如果被取和的序列是有窮序列,相對應的級數被稱為有窮級數;反之,稱為無窮級數。常見的級數包括等差數列和等比數列的級數。
級數本身也是一種序列(代表加到第項)。就跟普通序列一樣,級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量,也可以是關於其他變量的函數,不一定是一個數,但某序列要能定義相應級數,前提是必須要有加法(如實數加法、向量加法與矩陣加法等等)。
如果某級數來自於對常數序列取和,則稱之為常數(項)級數,如果來自於函數序列,則稱之為函數(項)級數。
無窮級數不像有窮級數可以加到最後一項,所以作為替代,通常會嘗試將項數趨近於無窮大來取「最終的和」,具體來說,也就是對級數取極限。如果這個極限存在,會仿造數列極限,將這個無窮級數稱為收斂的(convergent);反之稱為發散的(divergent)。(而且要能定義極限還需要距離來比較遠近)
也就是說,只要 上有定義一種有交換律的「運算」,那定義在 的序列都可以「取和」,而它的「部分和」可以構成某個唯一的序列。也就是說,一般會將 視為加法「」 ,而將更加直觀的記為:
然後把直觀地稱為部分和。
通常會做以下的符號定義:
而將 記為 甚至是更直觀的
以上定義的級數,在直觀上被理解成「無窮級數」(infinite series);但所謂的「有窮序列」,也只是從某個正整數 開始,只要正整數 就有 (的單位元,可直觀理解成一般加法的「零」)。所以「有窮序列」取部分和而得到的「有窮級數」(finite series),事實上包含在上述定義中;換句話說,有窮級數是對從某項 開始為零的特殊序列取部分和得到的,所以不管怎麼加,部分和最大都只能到 。
對於級數,如果當趨於正無窮大時,趨向一個有限的極限:,那麼這個無窮級數就叫做是收斂的,叫做級數的和。如果極限不存在,這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和。這時可以定義級數的餘項和:。
如果級數中的各項可以是正數,負數或零,則級數稱為任意項級數。 將任意項級數各項取絕對值,得到正項級數。
定理:如果任意項級數的各項的絕對值所組成的正項級數收斂,則級數收斂。
證明: |
---|
令
該定理表明,如果級數絕對收斂,則級數必收斂。 |
這兩個級數的斂散性是一樣的。
將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念,對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函數等的泰勒展開,還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。
17世紀,詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數,並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715年,布魯克·泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18世紀時歐拉又發展了超幾何級數和q-級數的理論。
14世紀時,馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則,後來他的學生將其推廣。
然而在歐洲,審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於歐拉的超幾何級數
的論文,提出了一些簡單的收斂準則,並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。
柯西提出了嚴格的審斂法的重要性,他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的,同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。
1826年,阿貝爾在他的關於二項式級數
的論文中更正了柯西的若干個結論,並給出了二項式級數的嚴格的求和方法,指出了連續性在收斂問題中的重要性。
柯西提出的審斂法並不是普遍適用的,只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家,比如拉貝(Joseph Ludwig Raabe)的對數判別法,德·摩根的對數判別法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函數失效) ,以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。
對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始,之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。
1821年,柯西首先開始對一致連續性的研究,但其中有不少錯誤和局限。這些錯誤最早被阿貝爾指出,但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究,並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而,一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。
幾何級數(或等比級數)是指通項為等比數列的級數,比如:
一般來說,幾何級數收斂當且僅當。
調和級數是指通項為的級數:
它是發散的。
-級數是指通項為的級數:
對於實數值的,當時收斂,當時發散。這可以由積分比較審斂法得出。
收斂當且僅當數列收斂到某個極限,並且這時級數的和是。
泰勒級數是關於一個光滑函數在一點附近取值的級數。泰勒函數由函數在點的各階導數值構成,具體形式為:
這是一個冪級數。如果它在附近收斂,那麼就稱函數在點上是解析的。
具有以下形式的級數
形同的函數項無窮級數稱為的冪級數。它的收斂與否和係數有關。
任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示,稱為傅里葉級數。傅里葉級數是函數項無窮級數,也就是說每項都是一個函數。傅里葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。
例如,周期為的周期函數可以表示為:
其中,,,特別的,
若通項為實數的無窮級數每一項都大於等於零,則稱是一正項級數。
如果無窮級數 是正項級數,則部分和是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則:單調有界數列必有極限。因此,倘若部分和數列Sn有界,收斂,且 ;反之,若部分和數列趨於正無窮,級數發散。
設 和 是正項級數。
比如,我們已知級數:收斂,則級數:也收斂,因為對任意的,。
比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說,我們可以選擇比較簡單的級數:作為「標準級數」,依此判斷其他函數的斂散性。需要知道的是當時,發散,當時,收斂。
在比較判別法中,如果取幾何級數為比較的標準級數,可得:
這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。
這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法'。
具有以下形式的級數
對於通項為任意實數的無窮級數,將級數稱為它的絕對值級數。可以證明,如果收斂,那麼 也收斂,這時稱 絕對收斂。如果收斂,但是發散,則稱條件收斂。比如說,級數絕對收斂,因為前面已經證明 收斂。而級數是條件收斂的。它自身收斂到,但是它的絕對值級數是發散的。
黎曼級數定理說明,如果一個無窮級數條件收斂,那麼對於任意的實數,存在一個正整數到正整數的雙射,使得級數收斂到 。對於正負無窮大,上述雙射也存在。
設為定義在區間上的函數列,則表達式:稱為函數項級數,簡記為。對函數項級數的主要研究是:
對區間上的每個 ,級數 是常數項級數。若 收斂,則稱是的一個收斂點,全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若 發散,則稱是的一個發散點,全體發散點的集合稱為它的發散域。在其收斂域的每一點上都有定義,因此定義了一個函數,稱為的和函數,記為。按照定義,,其中為函數項級數在點上的部分和。
函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義,但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。比如說,當函數項級數中的每一項在收斂域上都是連續函數時,和函數未必會是連續函數。以下是一個例子:
然而,如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話,可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性,這就是所謂的一致收斂性質。和函數列的一致收斂性質一樣,函數項級數在某個區間內(關於某個範數)一致收斂的定義是它的部分和函數 在區間上一致收斂到和函數,
可以證明:
如果級數 在區間 內一致收斂,並且每個 都是連續函數,那麼和函數 在區間 上也是連續函數。
進一步的,如果導函數級數的每一項都是函數(階連續可微函數),並且各階導函數級數在區間內都一致收斂,那麼級數和函數 也是函數,並且:
函數項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間和範數,函數項級數在區間內絕對收斂,當且僅當常數級數收斂。
絕對收斂的(連續?)函數在每一點都收斂,並且在區間內一致收斂。[來源請求]
形同的函數項無窮級數稱為的冪級數。一般只需討論形同的冪級數。
根據阿貝爾定理,它的收斂域是一個關於零對稱的區間,即為(可開可閉)的形式。這個正數(可以是無窮大)叫做冪級數的收斂半徑。並有定理:
設冪級數滿足,則:
求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分(或求導)以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式,在求和後在對各項求導(或積分)。
漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的,它的部分和趨於無窮大,因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。但要注意的是,漸進級數提供的逼近是相對的,即只是比值趨於一致,與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說,漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差,之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。
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