拉比判別法

拉比判別法（英語：Raabe's Test）是判斷一個實級數收歛的方法。在判斷比幾何級數收斂得慢的級數時，比柯西判別法、達朗貝爾判別法更有效。^[1]

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
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閱 論 編

定理

對任意級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

• 如果存在 ${\displaystyle r>1}$ ，${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}}$ ,使得當 ${\displaystyle n>n_{0}}$ 時，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\geq r}$，

那麼級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$絕對收斂。

• 如果對充分大的 ${\displaystyle n}$ ，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1}$，

那麼級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$發散。^[1]

極限形式

對任意級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ，令

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r,}$

• ${\displaystyle r>1}$ 時級數絕對收斂
• ${\displaystyle r<1}$ 時說明級數 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ 發散(沒有絕對收斂)，原級數 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 可能收斂也可能發散。
• ${\displaystyle r=1}$ 時級數可能收斂也可能發散^[2][3]

證明

• 當 ${\displaystyle r>1}$ 時，存在 ${\displaystyle p}$ 使得 ${\displaystyle r>p>1}$. 則:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r>p=\lim _{n\to \infty }n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\quad }$ 對充分大的 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>{\frac {(n+1)^{p}}{n^{p}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {\frac {1}{(n+1)^{p}}}{\frac {1}{n^{p}}}}}$

因為當 ${\displaystyle p>1}$ 時級數 ${\displaystyle \sum n^{-p}}$ 收斂，故級數 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ 在 ${\displaystyle r>1}$ 時收斂，即級數 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 絕對收斂。 ^[4]

• 當 ${\displaystyle r<1}$ 時，有

${\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1,}$，則

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq 1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}}$，即

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq {\frac {n}{n+1}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}}$

由於 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ 發散，故 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 發散。^[1]

例子

當 ${\displaystyle r=1}$ 時無法判斷其斂散性，舉例如下:

已知有

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}})^{\alpha }=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {\alpha }{n\ln n}}+o({\frac {1}{n\ln n}})}$

令 ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n(\ln n)^{\alpha }}}}$

已知當 ${\displaystyle \alpha >1}$ 時，${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}<+\infty }$ ；當 ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ 時，${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}=\infty }$ ，然而由上式得

${\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1+{\frac {\alpha }{\ln n}}+o({\frac {1}{\ln n}})\rightarrow 1(n\rightarrow \infty )}$

這說明當 ${\displaystyle r=1}$ 時，拉比判別法無效。^[5]

參考文獻

1. 常庚哲，史濟懷. 数学分析教程（下册）. 安徽合肥: 中國科學技術大學出版社. 2013: 第173頁. ISBN 9787312031311.
2. 謝惠民. 数学分析习题课讲义. 北京: 高等教育出版社. 2004: 第8頁. ISBN 9787040129410.
3. Weisstein, Eric W. (編). Raabe's Test. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. （原始內容存檔於2015-04-02） （英語）.
4. Mathumatiks :: Raabes Test and Logarithmic Test. mathumatiks.org. [2015-09-03]. （原始內容存檔於2016-03-04）.
5. Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. （原始內容存檔於2015-09-05） （英語）.