魏爾施特拉斯判別法

魏爾施特拉斯判別法是一個類似於比較審斂法的判別法，可以用於判斷函數項級數的收斂性。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
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閱 論 編

假設${\displaystyle \{f_{n}\}}$是定義在集合${\displaystyle A}$內的一個實數或複數函數的數列，並存在正的常數${\displaystyle M_{n}}$，使得

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

對於所有的${\displaystyle n}$≥${\displaystyle 1}$和${\displaystyle A}$內所有的${\displaystyle x}$。進一步假設級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

收斂。那麼級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

在${\displaystyle A}$內一致收斂（常規意義下，以一致收斂的柯西逼近形式證明）。

如果函數${\displaystyle \{f_{n}\}}$的陪域是任何一個巴拿赫空間，則魏爾施特拉斯判別法的一個更一般的形式仍然成立，但要把

${\displaystyle |f_{n}|\leq M_{n}}$

換成

${\displaystyle ||f_{n}||\leq M_{n}}$,

其中${\displaystyle ||\cdot ||}$是巴拿赫空間的範數。 範數的選取方法與結果一般無關。

參考文獻

• Rudin, Walter. Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. January 1991. ISBN 0-07-054236-8.
• Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. May 1986. ISBN 0-07-054234-1.
• Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.