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由十二個正五邊形所組成的正多面體 来自维基百科,自由的百科全书
正十二面體是由12個正五邊形所組成的正多面體,它共有20個頂點、30條棱、160條對角線,被施萊夫利符號{5,3}所表示,與正二十面體互成對偶。它是一種只具有正四面體對稱性的五角十二面體的特殊形式,五角十二面體的另一種特殊形式是具有正八面體對稱性的卡塔蘭多面體菱形十二面體,它(加上所有其它的五角十二面體)都與正十二面體在拓撲上等價。正十二面體還是截頂五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體。
十二面體 |
面的圖形:正五邊形
面的數目:12
邊的數目:30
頂點數目:20
二面角角度:
如果正十二面體棱長為a:
表面積:
體積:
外接球半徑:
內切球半徑:
中分球半徑:
對偶多面體:正二十面體
頂點坐標: | |
橙色的頂點位於(±1, ±1, ±1),形成了其一個內接立方體(虛線所示)。 | |
綠色的頂點位於(0, ±φ, ±1/φ),形成了y–z平面上的一個矩形。 | |
藍色的頂點位於(±1/φ, 0, ±φ),形成了x–z平面上的一個矩形。 | |
粉色的頂點位於(±φ, ±1/φ, 0),形成了x–y平面上的一個矩形。 | |
相鄰頂點間的距離是2/φ,頂點到原點的距離是√3. 是黃金分割數。 |
如果我們以正十二面體的形心為原點建立三維直角坐標系,那麼其20個頂點可被描述為:
(0,±φ,±1/φ)
(±1/φ,0,±φ)
(±φ,±1/φ,0)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2,是黃金分割數,也被寫作τ,約等於1.618。
該正十二面體棱長為2/φ=√5–1。其外接球半徑正好為√3。
正十二面體有兩種特殊的正交投影,分別正對着其一個頂點和一個正五邊形面,對應着A2和H2考克斯特平面
在透視投影中,如果如果投影中心正在正十二面體外接球正對其一面的一點,則你能得到其施萊格爾圖像,我們亦可以將其視為球面多面體而使用球極投影。這些方法也被用於可視化其四維類比正一百二十胞體,一個由120個全等的正十二面體組成的四維凸正多胞體。
正十二面體在拓撲上還和其它階的正五邊形正鑲嵌{5,n}(n≥3)有關:
正十二面體與4個星形半正多面體和上述3個複合半正多面體有同樣的頂點分布:
大星形十二面體 |
小雙三斜三十二面體 |
雙三斜二十四面體 |
大雙三斜三十二面體 |
五複合立方體 |
五複合四面體 |
十複合四面體 |
正十二面體的3個星形化體都是星形正多面體(開普勒-普索多面體):
0 | 1 | 2 | 3 | |
---|---|---|---|---|
星形化體 | 正十二面體 |
小星形十二面體 |
大十二面體 |
大星形十二面體 |
表面圖形 |
化學:
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