考克斯特群

在數學中，考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的群。這類群廣泛出現於數學的各分支中，二面體群與正多胞體的對稱群都是例子；此外，根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。

形式定義

所謂考克斯特群，是一個群 ${\displaystyle W}$ 寫成如下的表達式，即由滿足一些交互關係的生成元生成的群

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

其中 ${\displaystyle m_{ij}\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ 滿足 ${\displaystyle m_{ii}=1}$ 以及 ${\displaystyle m_{ij}\geq 2}$ 對所有 ${\displaystyle i\neq j}$。在此 ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ 意指 ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}$ 恆不等於單位元。

注意到 ${\displaystyle r_{i}^{2}=e}$；若 ${\displaystyle m_{ij}=2}$，則 ${\displaystyle r_{i}r_{j}=r_{j}r_{i}}$。且 m 滿足對稱性 ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$。

令這組生成元為 ${\displaystyle S}$。資料 ${\displaystyle (W,S)}$ 稱為考克斯特群。方陣 ${\displaystyle (m_{ij})_{ij}}$ 稱為考克斯特矩陣。

性質

有限考克斯特群的分類

設 ${\displaystyle (W,S)}$ 為考克斯特群，可證明存在一個有限維實矢量空間 ${\displaystyle V}$ 及其上的非退化雙線性形 ${\displaystyle q}$（未必正定），使得 ${\displaystyle W}$ 同構於正交群 ${\displaystyle O(q)}$ 的某個子群。由於 ${\displaystyle S}$ 的元素均為二階，可視之為 ${\displaystyle (V,q)}$ 中對某些超平面的鏡射。

利用 ${\displaystyle (W,S)}$ 的展示，定義元素的長度如下：對 ${\displaystyle w\in W}$，定義其長度 ${\displaystyle \ell (w)}$ 為所有表法 ${\displaystyle w=r_{i_{1}}\cdots r_{i_{s}}\;(r_{j}\in S)}$ 中最短的 ${\displaystyle s}$。由此可導出

${\displaystyle \forall s\in S,\;\ell (ws)=\ell (w)\pm 1}$

${\displaystyle \ell (w^{-1})=\ell (w)}$

例子

• 對稱群 ${\displaystyle S_{n}}$ 是考克斯特群。在此可取 ${\displaystyle S}$ 為置換 ${\displaystyle (1,2),(2,3),\ldots ,(n-1,n)}$；關係為 ${\displaystyle ((k,k+1)(k+1,k+2))^{3}=1}$。

• 正多胞體的對稱：正多胞體的對稱群是有限考克斯特群。舉例明之：正多邊形的對稱群是二面體群，正 n 維單形的對稱群是前述的 ${\displaystyle S_{n+1}}$，又稱為 ${\displaystyle A_{n}}$ 型的考克斯特群。n 維超正方體的對稱群為 ${\displaystyle BC_{n}}$。正十二面體與正二十面體的對稱群是 ${\displaystyle H_{3}}$。在四維空間中，存在三種特別的正多胞體──正二十四胞體、正一百二十胞體與正六百胞體，其對稱群分別是 ${\displaystyle F_{4},H_{4},H_{4}}$。${\displaystyle D_{n},E_{6},E_{7},E_{8}}$ 可以由某些半正多胞體的對稱群得到。

• 外爾群：每個根系的外爾群都是有限考克斯特群。

• 仿射外爾群：仿射外爾群是無限群，但帶有一個正則阿貝爾子群，使得對應的商群是個外爾群。

分類

一般而言，兩個群展示的同構與否是無法判定的。然而對考克斯特群則有一個簡單的判準，稱為交換條件。可以透過考克斯特-丹金圖分類有限考克斯特群。圖的構造方式為：

1. 每個生成元對應到一個頂點。
2. 若 ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$，則頂點 ${\displaystyle r_{i},r_{j}}$ 之間有邊相連。
3. 若 ${\displaystyle m_{ij}\geq 4}$，則將邊標上 ${\displaystyle m_{ij}}$。

文獻

• Larry C Grove and Clark T. Benson, Finite Reflection Groups (1985), Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer.
• Paul Garrett, Buildings and Classical Groups (1997), Chapman Hall. ISBN 0-412-06331-X . PostScript 檔案下載 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） .
• James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups (1990), Cambridge studies in advanced mathematics, 29.