3D投影

三維投影是將三維空間中的點映射到二維平面上的方法。由於目前絕大多數圖形數據的顯示方式仍是二維的，因此三維投影的應用相當廣泛，尤其是在計算機圖形學，工程學和工程製圖中。

分類

• 三維圖形平面投影
  • 平行投影：投影中心與投影平面的距離是無限的，投影線相互平行
    • 正投影（正交投影）：投影線垂直於投影平面
      • 多視圖投影：物體的坐標面與投影面平行，正視圖、側視圖、俯視圖
      • 軸測投影：物體的三個坐標面或坐標軸與投影面均不平行
        • 正等軸測投影（正等測）：投影時三個坐標軸等比例縮放，投影面坐標軸夾角120°
        • 正二軸測投影（正二測）：投影時兩個坐標軸等比例縮放，第三個坐標軸縮放比例不同
        • 正三軸測投影（正三測）：投影時三個坐標軸縮放比例均不相等
    • 斜投影：投影線不垂直於投影平面
      • 斜等軸測投影（斜等測）
      • 斜二軸測投影（斜二測）
      • 斜三軸測投影（斜三測）
  • 透視投影：投影中心與投影平面的距離是有限的
    • 一點透視
    • 兩點透視
    • 三點透視

平行投影

平行投影是投影線相互平行的投影。若投影線垂直於投影面則稱正投影，若投影面傾斜於投影面則稱斜投影。

正交投影

正交投影是一系列用於顯示三維物體的輪廓、細節或精確測量結果的變換方法。通常又稱作截面圖、鳥瞰圖或立面圖。

當視平面的法向（即攝像機的朝向）平行於笛卡爾坐標系三根坐標軸中的一根，數學變換定義如下： 若使用一個平行於y軸（側視圖）的正交投影將三維點${\displaystyle a_{x}}$, ${\displaystyle a_{y}}$, ${\displaystyle a_{z}}$投影到二維平面上得到二維點${\displaystyle b_{x}}$, ${\displaystyle b_{y}}$，可以使用如下公式

${\displaystyle b_{x}=s_{x}a_{x}+c_{x}}$

${\displaystyle b_{y}=s_{z}a_{z}+c_{z}}$

其中向量s是一個任意的縮放因子，而c是一個任意的偏移量。這些常量可自由選擇，通常用於將視口調整到一個合適的位置。該投影變換同樣可以使用矩陣表示（為清晰起見引入臨時向量d）

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{d_{x}}\\{d_{y}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a_{x}}\\{a_{y}}\\{a_{z}}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{b_{x}}\\{b_{y}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{s_{x}}&0\\0&{s_{z}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{d_{x}}\\{d_{y}}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{c_{x}}\\{c_{z}}\\\end{bmatrix}}.}$

雖然正交投影產生的圖像在一定程度上反映了物體的三維特性，但此類投影圖像和實際觀測到的並不相同。特別是對於相同長度的平行線段，無論離虛擬觀察者（攝像機）遠近與否，它們都會在正交投影中顯示為相同長度。這會導致較近的線段看起來被縮短了。

斜投影

斜投影不像正交投影一樣投影線垂直於投影面，而是投影線與投影面成非90度的斜角。

透視投影

主條目：變換矩陣

透視投影的定義更為複雜。可以將其理解為透過攝像機取景器對於被投影物體進行觀察。攝像機的位置、朝向和視野都將影響投影變換的結果。我們定義以下變量來對這一變換進行描述：

• ${\displaystyle \mathbf {a} _{x,y,z}}$：將被投影的三維空間中的點。
• ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}$：攝像機的位置。
• ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}$：攝像機的旋轉角度。當 ${\displaystyle \mathbf {c} _{x,y,z}}$=<0,0,0>且 ${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}$=<0,0,0>, 三維向量<1,2,0>將被投影到二維向量<1,2>。
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{x,y,z}}$：觀測者相對顯示平面的位置。^[1]

最終結果為：

• ${\displaystyle \mathbf {b} _{x,y}}$：${\displaystyle \mathbf {a} }$所產生的二維投影。

首先我們定義點${\displaystyle \mathbf {d} _{x,y,z}}$作為點${\displaystyle \mathbf {a} }$向攝像機坐標系所作的變換，其中攝像機坐標系由攝像機的位置${\displaystyle \mathbf {c} }$和旋轉${\displaystyle \mathbf {\theta } _{x,y,z}}$所決定。該過程為：先用${\displaystyle \mathbf {a} }$減去${\displaystyle \mathbf {c} }$，然後使用由${\displaystyle -\mathbf {\theta } }$產生的旋轉矩陣乘上該結果。該變換通常稱為攝像機變換(注意該計算過程假設使用左手法則)： ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos(\mathbf {-\theta } _{x})}&{-\sin(\mathbf {-\theta } _{x})}\\0&{\sin(\mathbf {-\theta } _{x})}&{\cos(\mathbf {-\theta } _{x})}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos(\mathbf {-\theta } _{y})}&0&{\sin(\mathbf {-\theta } _{y})}\\0&1&0\\{-\sin(\mathbf {-\theta } _{y})}&0&{\cos(\mathbf {-\theta } _{y})}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos(\mathbf {-\theta } _{z})}&{-\sin(\mathbf {-\theta } _{z})}&0\\{\sin(\mathbf {-\theta } _{z})}&{\cos(\mathbf {-\theta } _{z})}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\left({{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}\right)}$^[4]

或者使用以下這種非矩陣表示的形式，其中角度的正負號與矩陣表示形式不同：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}d_{x}&=&\cos \theta _{y}\cdot (\sin \theta _{z}\cdot (a_{y}-c_{y})+\cos \theta _{z}\cdot (a_{x}-c_{x}))-\sin \theta _{y}\cdot (a_{z}-c_{z})\\d_{y}&=&\sin \theta _{x}\cdot (\cos \theta _{y}\cdot (a_{z}-c_{z})+\sin \theta _{y}\cdot (\sin \theta _{z}\cdot (a_{y}-c_{y})+\cos \theta _{z}\cdot (a_{x}-c_{x})))+\cos \theta _{x}\cdot (\cos \theta _{z}\cdot (a_{y}-c_{y})-\sin \theta _{z}\cdot (a_{x}-c_{x}))\\d_{z}&=&\cos \theta _{x}\cdot (\cos \theta _{y}\cdot (a_{z}-c_{z})+\sin \theta _{y}\cdot (\sin \theta _{z}\cdot (a_{y}-c_{y})+\cos \theta _{z}\cdot (a_{x}-c_{x})))-\sin \theta _{x}\cdot (\cos \theta _{z}\cdot (a_{y}-c_{y})-\sin \theta _{z}\cdot (a_{x}-c_{x}))\\\end{array}}}$

然後將變換後的該點通過以下方程投影到二維平面（此處投影平面為x/y平面，有時也使用x/z）:^[5]

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbf {b} _{x}&=&(\mathbf {d} _{x}-\mathbf {e} _{x})(\mathbf {e} _{z}/\mathbf {d} _{z})\\\mathbf {b} _{y}&=&(\mathbf {d} _{y}-\mathbf {e} _{y})(\mathbf {e} _{z}/\mathbf {d} _{z})\\\end{array}}}$

或在齊次坐標系下可以表示為：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{x}\\\mathbf {f} _{y}\\\mathbf {f} _{z}\\\mathbf {f} _{w}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&-\mathbf {e} _{x}\\0&1&0&-\mathbf {e} _{y}\\0&0&1&0\\0&0&1/\mathbf {e} _{z}&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {d} _{x}\\\mathbf {d} _{y}\\\mathbf {d} _{z}\\1\\\end{bmatrix}}}$

和

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbf {b} _{x}&=&\mathbf {f} _{x}/\mathbf {f} _{w}\\\mathbf {b} _{y}&=&\mathbf {f} _{y}/\mathbf {f} _{w}\\\end{array}}}$

觀測者到顯示平面的距離，${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$，直接關係到視野的大小。${\displaystyle \alpha =2\cdot \tan ^{-1}(1/\mathbf {e} _{z})}$為可視角度。（這裡假設屏幕的兩角為(-1,-1)和(1,1)）

如果要在一些特定的顯示設備上顯示該二維平面，之後還要進行一些必要的剪裁和縮放操作。

圖示

計算三維空間中位於Ax，Az的點在屏幕坐標x軸的位置：

${\displaystyle screen\ x\ coordinate\ (Bx)\ =\ model\ x\ coordinate\ (Ax)\times {\frac {distance\ from\ eye\ to\ screen\ (Bz)}{distance\ from\ eye\ to\ point\ (Az)}}}$

對於y軸同樣有:

${\displaystyle screen\ y\ coordinate\ (By)\ =\ model\ y\ coordinate\ (Ay)\times {\frac {distance\ from\ eye\ to\ screen\ (Bz)}{distance\ from\ eye\ to\ point\ (Az)}}}$

(其中Ax和Ay是透視轉換前物體在空間中的坐標)

參看

• 計算機圖形學
  • 三維計算機圖形
• 透視
• 單應性
• 三維投影的數學理論：投影

參考文獻

1. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek, Planar Geometric Projections and Viewing Transformations, ACM Computing Surveys, 1978, 10 (4): 465–502, doi:10.1145/356744.356750.
2. Riley, K F. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. 2006: 931,942. ISBN 0521679710. doi:10.2277/0521679710.
3. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 2nd Edn.. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. 1980: 146–148. ISBN 0201029189.
4. Rotation About an Arbitrary Axis in 3 Dimensions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Glenn Murray 2013-6-6 [2014-4-23]
5. Sonka, M; Hlavac, V; Boyle, R, Image Processing, Analysis & Machine Vision 2nd Edn., Chapman and Hall: 14, 1995, ISBN 0412455706

延伸閱讀

• Kenneth C. Finney. 3D Game Programming All in One. Thomson Course. 2004: 93 [2009-12-23]. ISBN 159200136X. （原始內容存檔於2012-11-12）.