向量空間是一群可縮放和相加的數學實體(如實數甚至是函數)所構成的特殊集合,其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量,而向量空間正是線性代數的主要研究對象。
Quick Facts 線性代數, 向量 ...
線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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向量空間是可以縮放和相加的(叫做向量的)對象的集合
給定域
和某集合
,它們具有了以下兩種運算(函數):[1]
- 向量加法
(其中
慣例上簡記為
)
- 標量乘法
(其中
慣例上簡記為
甚至是
)
且這兩種運算滿足:(特別注意
和
是域
是本身具有的加法和乘法)
More information 存在
...
名稱
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前提條件 |
內容
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向量加法
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的單位元與逆元素
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存在 的元素 對所有
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有
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且存在 使得
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的結合律
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對所有 ![{\displaystyle u,\,v,\,w\in V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e686ef9d1df2160cfd77fea859166b1328c6edeb) |
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的交換律
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對所有 ![{\displaystyle u,\,v\in V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d201b3240aae1af6213033cdb086ea7ef7b0e9) |
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標量乘法
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的單位元
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對所有
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若 是 的乘法單位元,則
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對向量加法的分配律
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對所有 和所有 ![{\displaystyle a\in K}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97d838bfcfb39f7a33ffe31cd1c2a989b8ca3f6) |
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對域加法的分配律
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對所有 和所有 ![{\displaystyle a,\,b\in K}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7669e603ea65c3825e95c0d8889f36ab1e088c7f) |
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與域乘法 |
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這樣稱 「
為定義在域
上的向量空間」,而
裡的元素
被稱為向量;域
裡的元素
被稱為標量。這樣域
就是囊括所有標量的集合,所以為了解說方便,有時會將
暱稱為標量域或是標量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下,向量加法
也可以簡寫成
。
前四個條件規定
是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「
是個域,且
是一個
模」。
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:
對一般域F,V記為F-向量空間。若F是實數域ℝ,則V稱為實數向量空間;若F是複數域ℂ,則V稱為複數向量空間;若F是有限域,則V稱為有限域向量空間。
最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為域中元素的加法,標量乘法為域中元素的乘法就可以了。例如當F是實數域ℝ時,可以驗證對任意實數a、b以及任意實數u、v、w,都有:
- u + (v + w) = (u + v) + w,
- v + w = w + v,
- 零元素存在:零元素0滿足:對任何的向量元素v,v + 0 = v,
- 逆元素存在:對任何的向量元素v,它的相反數w = −v就滿足v + w = 0。
- 標量乘法對向量加法滿足分配律:a(v + w) = a v + a w.
- 向量乘法對標量加法滿足分配律:(a + b)v = a v + b v.
- 標量乘法與標量的域乘法相容:a(bv) =(ab)v。
- 標量乘法有單位元:ℝ中的乘法單位元,也就是實數「1」滿足:對任意實數v,1v = v。
更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面:平面上的每一點
都有一個坐標
,並對應着一個向量
。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間,記作ℝ²,因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組
。可以驗證,對於普通意義上的向量加法和標量乘法,ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上,向量空間是ℝ²的推廣。
同樣地,高維的歐幾里得空間ℝn也是向量空間的例子。其中的向量表示為
,其中的
都是實數。定義向量的加法和標量乘法是:
,
可以驗證這也是一個向量空間。
再考慮所有係數為實數的多項式的集合
。對於通常意義上的多項式加法和標量乘法,
也構成一個向量空間。更廣泛地,所有從實數域射到實數域的連續函數的集合
也是向量空間,因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。
向量空間的另一種例子是齊次線性方程組(常數項都是0的線性方程組)的解的集合。例如下面的方程組:
![{\displaystyle 3x+2y-z=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5214042596514613c3e92d8e61d373be66cd36d8)
![{\displaystyle x+5y+2z=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0434dccf5b75006c9156eb28e4a36ba9693eb65)
如果
和
都是解,那麼可以驗證它們的「和」
也是一組解,因為:
![{\displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2623eb35f6944ddb871a4731995842ae458e847f)
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83aedd11635201fd676f6729943fad76f7efe18)
同樣,將一組解乘以一個常數後,仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「標量乘法」滿足向量空間的公理,因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。
一般來說,當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時,方程組有無限多組解,並且這些解組成一個向量空間。
對於齊次線性微分方程,解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程:
![{\displaystyle f''+4xf'+\cos(x)f=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c715ec2c51ec46dcf0ade10b9ae6439f1a8233ac)
出於和上面類似的理由,方程的兩個解
和
的和函數
也滿足方程。可以驗證,這個方程的所有解構成一個向量空間。
如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉(也就是說任意W中的元素相加或者和標量相乘之後仍然在W之中),那麼將W稱為V的線性子空間(簡稱子空間)。V的子空間中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空間
。
給出一個向量集合B,那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也稱線性包絡,記作span(B)。
給出一個向量集合B,若它的生成子空間就是向量空間V,則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集,那麼就稱V是一個有限維空間。
可以生成一個向量空間V的線性獨立子集,稱為這個空間的基。若V={0},約定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列:
,那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現:
![{\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525f89fdee4cb835c8e6aa330a42c83d56ba6579)
這種表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是說,向量空間的基提供了一個坐標系。
可以證明,一個向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時,任何一組基中的元素個數都是定值,等於空間的維度。例如,各種實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中, ℝn的維度就是n。在一個有限維的向量空間(維度是n)中,確定一組基
,那麼所有的向量都可以用n個標量來表示。比如說,如果某個向量v表示為:
那麼v可以用數組
來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法,基中元素表示為:
可以證明,存在從任意一個n維的
-向量空間到空間
的雙射。這種關係稱為同構。
給定兩個係數域都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換(或稱線性映射)為所有從V射到W並且它保持向量加法和標量乘法的運算的函數f:
所有線性變換的集合記為
,這也是一個係數域為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後,
中的線性變換可以通過矩陣來表示。
如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是一一映射,那麼這個線性映射稱為(線性)同構,表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構,那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構
,那麼其逆映射
也存在,並且對所有的
,都有:
- 《中國大百科全書》
- Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
- Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
- Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
- Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
- Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8