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微分几何中,一个微分流形上的联络的完整[1](英语:holonomy,又译和乐),描述向量绕闭圈平行移动一周回到起点后,与原先相异的现象。平联络的和乐是一种单值性现象,其于全域有定义。曲联络的和乐则有非平凡的局域和全域特点。
流形上任意一种联络,都可由其平行移动映射给出相应的和乐。常见的和乐由具有特定对称的联络给出,例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和乐(称为黎曼和乐)。向量丛联络的和乐、嘉当联络的和乐,以及主丛联络的和乐。在该些例子中,联络的和乐可用一个李群描述,称为和乐群。联络的和乐与其曲率密切相关,见安布罗斯-辛格定理。
对黎曼和乐的研究导致了若干重要的发现。其最早由Élie Cartan (1926)引入,以用于对称空间的分类上。然而,很久以后,和乐群才用于更一般的黎曼几何上。1952年, 乔治·德拉姆证明了德拉姆分解定理:若黎曼流形的切丛可分解成局域和乐群作用下不变的子空间,则该流形分解为黎曼流形的笛卡儿积。稍后,于1953年,马塞尔·伯格 给出所有不可约和乐的分类[2]。黎曼和乐的分解和分类适用于物理和弦论。
主丛联络的和乐与向量丛相仿。设 G 为李群,P 为仿紧光滑流形 M 上的主 G 丛。设 ω 为 P 上的联络。给定 M 中一点 x, 以 x 为基点的分段光滑环圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纤维上一点 p, 该联络定义了唯一的水平提升
使得
水平提升的终点
未必是 p, 因为其可为 x 纤维上的另一点 p·g. 若两点 p 和 q 之间有分段光滑的水平提升路径连接,则称 p ~ q. 如此,~ 是 P 上的等价关系。
ω 以 p 为基点的和乐群定义为
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db88ccabd0a1c0de74363656690f48d12e57ab32)
若在定义中仅允许可缩环圈 γ 的水平提升,则得到以 p 为基点的受限和乐群
. 其为和乐群
的子群。
若 M 和 P 皆连通,则不同基点 p 的和乐群仅在 G 互为共轭。更具体说,若 q 是另一个基点,则有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 于是,
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d57e4ae7df00f218bf18a673eceb442920d648)
特别地,
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b0a068abeace08dc9d781d6baaf8b6e017def5e)
再者,若 p ~ q, 则
因此,有时可省略基点不写,但须留意这会使得和乐群仅在共轭意义下有良好定义。
和乐群的若干性质包括:
是 G 的连通李子群。
是
的单位连通支。
- 存在自然的满群同态
![{\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841e3dcc51a008dcebe471e6a2c79de5aebae307)
- 若 M 单连通,则
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340a6336246dd134c4409016b33eced57acdd4b9)
- ω 为平(即曲率恒零)当且仅当
为平凡群。
同上,设 M 为连通仿紧流形,P 为其上的主 G 丛,ω 为 P 上的联络。设 p ∈ P 为主丛上的任意一点。以 H (p) 表示 P 中可与 p 用水平曲线相连的点的集合。则可证明 H (p) 连同其到 M 的投影也构成 M 上的主丛,且具有结构群
(即 H (p) 是主
丛)。 此主丛称为该联络 ω 经过 p 的和乐丛。ω 限制到 H (p) 上也是一个联络,因为其平行移动映射保持 H (p) 不变。故 H (p) 是该联络的约化主丛。此外,H (p) 任何真子丛都不被平行移动保持,所以其在该类约化主丛之中为最小。[3]
与和乐群类似,和乐丛在环绕它的主丛 P 中等变。具体说,若 q ∈ P 是另一个基点,则有 g ∈ G 使得 q ~ p g(按假设,M 是路连通的)。故 H (q) = H (p) g. 于是,两者在和乐丛上导出的联络是相容的,即:两个联络的平行移动映射恰好相差了群元素 g.
若 π: P → M 为主丛,ω 为 P 的联络,则 ω 的和乐可限制到 M 的开集的纤维上。若 U 为 M 的连通开集,则将 ω 限制到 U 上可得丛 π−1U 的联络。该丛的和乐群记为
而受限和乐群则记为
其中 p 为满足 π(p) ∈ U 的点。
若 U ⊂ V 为包含 π(p) 的两个开集,则有包含关系
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951998e8825cfe37158440654e97d3072e8f8e15)
p 点的局域和乐群定义为
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe817ebfec2ad882b6e0ff3a9ab092fe948b0d6)
其中 Uk 为任意一族满足
的递降(即
)连通开集。
局域和乐群有以下性质:
- 其为受限和乐群
的连通李子群。
- 每点 p 都有邻域 V 使得
局域和乐群仅取决于 p, 而非序列 Uk 的选取。
- 局域和乐群在结构群 G 的作用下等变,即对任意 g ∈ G,
(注意由性质 1, 局域和乐群是 G 的连通李子群,故伴随 Ad 有定义。
局域和乐群不一定有全域的良好性质,例如流形的不同点上的局域和乐群不一定具有相同的维数。然而,有以下的定理:
- 若局域和乐群的维数恒定,则局域和乐群与受限和乐群相等,即
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f998966323dd14bccdc41329dd0e06ad8bd263)
英文Holonomy与“全纯”(Holomorphic)相似,"Holomorphic"一词由柯西的两个学生夏尔·布里奥(1817–1882)和让-克劳迪·波桂(1819–1895)引入,来自希腊文ὅλος(holos)和μορφή(morphē),意思分别是“全”、“形态”。[5]
"Holonomy"与"holomorphic"的前半(holos)一样。至于后半:
非常难在网络上找出holonomic(或holonomy)的词源。我找到(鸣谢普林斯顿的约翰·康威):
我相信潘索(Louis Poinsot)最早在他对刚体运动的分析用到它。这个理论中,若某种意义下,能够从一个系统的局域资讯得悉其全局资讯,就叫一个和乐的 ("holonomic")系统,所以它的意思“整体法则”("entire-law")很贴切。球在桌上滚动并不和乐,因为沿不同的路径滚到同一点,可以使球的方向不同。然而,将“和乐”理解成“整体法则”恐怕有点过于简化。希腊文的"nom"词根有多层互相交织的意思,可能更多时解“数算”(counting)。它与我们的词数字"number"来自同一个印欧词根。
——S. Golwala[6]
参见νόμος(nomos)和-nomy。
安布罗斯-辛格定理(得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer (1953))描述主丛联络的和乐与该联络的曲率形式之间的关系。为理解此定理,先考虑较熟知的情况,如仿射联络、切丛联络(或其特例列维-奇维塔联络)。沿无穷小平行四边形的边界走一圈,就会感受到曲率。
引入更多细节,若
是
中某曲面的坐标表示,则向量
可以沿
的边界平行移动,由原点出发,先沿
,再沿
,再
(
反方向,即由
递减至
),最后
,回到原点。此为和乐环圈的特例,因为向量
沿该圈平行移动的结果,相当于
边界的提升,对应的和乐群元素,作用在
上。当平行四边形缩至无穷小时(即沿更小的平行四边形圈,对应
坐标中的区域
,而
趋向于
),就会明确得到曲率。换言之,取平行移动映射于
处的导数:
![{\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb85103f0db9b093073f6a9a73212f966039f979)
其中
为曲率张量。[7]所以,粗略而言,曲率给出闭环圈(无穷小平行四边形)上的无穷小和乐。更严格地,曲率是和乐作用于和乐群单位元处的导数。换言之,
是
的李代数的元素。
一般来说,考虑结构群为
的主丛
某联络的和乐。以
表示
的李代数,则联络的曲率形式是
上的
值2-形式
。安布罗斯-辛格定理断言:[8]
的李代数,是由
中所有形如
的元素线性张成,其中
取遍所有可以用水平曲线
与
连接的点,而
皆是
处的水平切向量。
亦可用和乐丛的说法,复述如下:[9]
的李代数,是
中形如
的元素张成的线性子空间,其中
取遍
的元素,而
取遍
处的水平向量。
1955年,马塞尔·伯格将不可约(并非局部等同积空间)、非对称(并非局部地黎曼对称)、单连通的黎曼流形,可能具有的和乐群,完全分类。伯格分类表如下:
1965年,爱德蒙·博南及Vivian Yoh Kraines同时研究和乐群为
的流形,构造出其平行4形式。
爱德蒙·博南于1966年最早引入和乐群为
或
的流形,他构造出全部平行形式,并证明该些流形皆为里奇平。
伯格原先的表中,未排除
(作为
的子群)。后来,迪米特里·阿列克谢耶夫斯基(Dmitri V. Alekseevsky)一人,与布朗(Brown)、格雷(Gray)二人,分别证明具此和乐群的黎曼流形必然局部对称,即与凯莱平面
局部等距同构,或局部平坦,故上表不列。上表列出的各可能,现已确实知道是某黎曼流形的和乐群。末尾两个例外情况的流形最难发现,见
流形和
流形。
注意
,故超凯勒流形必为卡拉比-丘,卡拉比-丘流形必为凯勒,而凯勒流形必可定向。
以上看似奇怪的列表(伯格定理),可由西蒙斯(Simons)的证明解释。另有一个简单几何证明,由卡洛斯·奥尔莫斯(Carlos E. Olmos)于2005年给出。[13]第一步要证,若黎曼流形并非局部对称空间,而约化和乐在切空间上的作用不可约,则递移地作用在单位球面上。但已知有何种李群递移作用于球面:上表所列各项,以及两个额外情况,分别是
(作用于
),以及
(作用于
)。最后,要验证前者只能作为局部对称空间(局部同构于的凯莱射影平面)的和乐群,而后者则根本不能作为和乐群出现。
伯格的原分类,尚有涵盖非正定的伪黎曼度量,其给出非局部对称和乐的可能列表为:
More information
,
...
和乐群 |
度量符号
|
![{\displaystyle SO(p,q)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6609eaa912527e34461522f02d0143988deb1b) |
|
![{\displaystyle U(p,q)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29543e0116019a26bff3e19ca9c9e82b4f31a9b) |
|
![{\displaystyle SU(p,q)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d4c5231d753738fd21eddc387a9d87030e1bf6) |
|
![{\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62dc35482ec506d283bae46390f3005cb4615a8b) |
|
![{\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)\cdot \mathrm {Sp} (1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fdea9dec559a18891e087fcb200287d216f116) |
|
![{\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0716ab922c94afd9d702d598a71179a6f5d10ef5) |
|
![{\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c0e5865dfcc50f9ef6716c45b1d1c6ce014eb6) |
|
分裂![{\displaystyle G_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645011b0c6933a02f5f7d84624f78220d747427e) |
|
![{\displaystyle G_{2}(\mathbb {C} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18a1709a1b7c5c76e1c80be1b450fc1706e202) |
|
![{\displaystyle \mathrm {Spin} (4,3)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451765ae3ff708a94abe405425d40735e5e43d88) |
|
![{\displaystyle \mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbc77730b45b92e3fea122f034e8d9a73040f72) |
|
![{\displaystyle (*)\ \mathrm {Spin} (5,4)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21438dede28899719f1a2268d0a3a35811e0b23b) |
|
![{\displaystyle (*)\ \mathrm {Spin} (9,\mathbb {C} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48233061ffb1f7f76e6e22191b2caf4354b55def) |
|
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但是,标
的两种和乐群(分裂
及复化
),如同正定的情况,只能在局部对称空间出现,故应予删去。至于复化和乐群
三种,可以将实解析黎曼流形复化得到。而和乐群为
子群的流形,R. McLean证明其为局部平。[14]
对称黎曼空间,因为局部与齐性空间
同构,其局部和乐群同构于
,经已分类完毕。
最后,伯格的论文亦有列举仅得无挠仿射联络的流形的可能和乐群,见下节。
在机器学习,尤其流形学习方面,曾有人提出,藉计算黎曼流形的和乐,得出数据流形的结构。由于和乐群包含数据流形的全域结构,其适用于判断数据流形可能如何分解成子流形之积。由于取样有限,无法完全准确计算出和乐群,但利用来自谱图论的思想(类似向量扩散映射),有可能构造出数值近似。所得的算法“几何流形分量估计量”(英语:Geometric Manifold Component Estimator,简写GeoManCEr“探地者”),能给出德拉姆分解的数值近似,并应用于现实数据。[18]
仿射和乐群(英语:affine holonomy groups),是无挠仿射联络的和乐群;其中一些不能作为(伪)黎曼和乐群出现,称为非度量和乐群(英语:non-metric holonomy groups)。德拉姆分解定理不适用于仿射和乐群,所以离完成分类尚有很远,但仍可以将不可约的仿射和乐分类。
伯格在证明黎曼和乐分类定理的过程中,发现对于非局部对称的无挠仿射联络而言,和乐群的李代数必定符合两个条件。伯格第一准则(英语:Berger's first criterion)是安布罗斯-辛格定理(即曲率张量生成和乐的李代数,见前节)的后果;而第二准则,来自联络非局部对称的条件。伯格列举了满足此两个准则,且作用不可约的群,可以视之为不可约仿射和乐群的可能情况表。
但伯格的列表,其后证实并未齐全。罗伯特·布莱恩特(1991)和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer(1996)找到未在列表的例子,有时称为“怪和乐”(exotic holonomies)。努力搜索例子之后,最终由Merkulov和Schwachhöfer(1999年)完成不可约仿射和乐群的分类,而反方向的结果则由布莱恩特(2000年)证明,即列表上所有群皆确实能作为仿射和乐群。
观察到表中的群和埃尔米特对称空间、四元数凯勒对称空间之间有联系之后,Merkulov–Schwachhöfer分类会变得更清晰。此种联系在复仿射和乐的情况尤其明确,见于Schwachhöfer(2001)。
设
为有限维复向量空间,
为不可约半单复连通李子群,又设
为极大紧子群。
- 若有不可约埃尔米特对称空间形如
,则
和
两者皆为非对称不可约仿射和乐群,其中
为
的切表示。
- 若有不可约四元数凯勒对称空间形如
,则
为非对称不可约仿射和乐群,而当
时,
亦然。此时,
的复化切表示是
,而
保
上某个复辛形式。
上述两族已涵盖大部分非对称不可约复仿射和乐群,例外仅有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653fbc5719721a405cb1703963d54388b5e679b3)
利用埃尔米特对称空间的分类,第一族的复仿射和乐群有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ea5f5660abd9d2fcd2a1ad94ec6ec829c0200c)
其中
可取平凡群,亦可取为
。
同样,用四元数凯勒对称空间的分类,第二族复辛和乐群有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766a81bbe56d77fb47e8b82cc9df3623b4c296c7)
(第二行中,
必须取为平凡群,除非
,此时可取为
。)
从以上各列表,可以观察出一个结论,类似西蒙斯断言黎曼和乐群递移作用于球面:复和乐表示皆为预齐性向量空间。但是,未知此事实的概念性证明。
不可约实仿射和乐的分类,用“实仿射和乐复化成复仿射和乐”此结论,结合上表,仔细分析便得。
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+Gubser, Steven S., Strings, branes and extra dimensions, TASI 2001. Lectures presented at the 2001 TASI school, Boulder, Colorado, USA, 4–29 June 2001., River Edge, NJ: World Scientific: 197–233, 2004, ISBN 978-981-238-788-2, arXiv:hep-th/0201114
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