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在数学里,尤其是在群表示理论里,一个群表示的特征标(character)是一个将群的每个元素映射对应矩阵的迹(Trace)的函数。特征标蕴藏著群的许多重要性质,且因此可以用来做群的研究。
特征标理论是对有限简单群分类的一个有重要的工具。在范特-汤普逊定理证明接近一半的地方会有一个用到特征标的复杂计算。另外还有一些较简单但一样重要的结论需用在特征标理论,如伯恩赛德定理及理查·布劳尔和铃木通夫所证出之定理,此定理表示有限简单群不会有一个为广义四元群的西洛2-子群。
设V为一个域F上的有限维向量空间且设为一个群G于V上的表示。则ρ的特征标即为如下给定之函数
其中为矩阵的迹数。
一个特征标χρ若被称为是不可约的,即表示ρ是一个不可约表示。若被称为是线性的,则表示ρ的维度等于1。χρ的核为集合
其中是χρ在群单位元上的值。当ρ是G的k维表示且1为G的单位元时,
和特征标群的情况不同,一个群的特征标通常不会自己“形成”一个群。
在调和分析中,通常定义局部紧阿贝尔拓扑群 的特征标为连续群同态 ;在此, 表示单位圆构成的群,等价地说就是 。
部份作者将特征标的定义放宽为连续群同态 ,而将取值在 者称作么特征标。其他人则保留原初定义,而将这类广义的特征标称为拟特征标。
的全体特征标构成一个群 ,群二元运算的定义是 ,称为对偶群。庞特里雅金对偶性总结了对偶群的一般性质。
令和为G的两个表示,则有下列的等式成立:
其中为两者的直和、为两者的张量积、为的共轭转置、以及Alt称为交替积而Sym则称为对称方,其值由下式决定
设 为有限群, 为其子群,而 为 G 的表示,其特征标记为 。令 为诱导表示 的特征标;根据弗罗贝尼乌斯互反定理,对所有 的特征标 ,恒有下述等式
此等式可用来刻划类函数 。事实上,若选定陪集分解
还可以明确地写下 的取值:
一个有限群的不可约特征标可以形成一个特征标表,其蕴含著许多有关群G在紧致形式时的有用资讯。每一行标记著一个不可约特征标且包含著此一特征标在每个G的共轭类上的值。
下面是有三个元素之循环群C3的特征标表:
(1) | (u) | (u2) | |
1 | 1 | 1 | 1 |
χ1 | 1 | u | u2 |
χ2 | 1 | u2 | u |
其中的u为一个原三次单位根。
特征标表总会是正方的,因为不可约表示的数目总会相等于共轭类的数目。特征标表的第一个行总会是1,其对应至群的当然表示上。
有关特征标表最重要的性质之一为其在行与列上都会有著正交关系。
对特征标(即对特征标表中的行)的内积由下给出:
对于此一内积而言,不可约特征标两两正规正交:
对表中的列的正交关系则由下列给出:
其中相加的范围为所有G的不可约特征标,而符号则表示为g的共轭类之大小。
此一正交关系可以帮助许多的运算,如:
一个群G的某些性质可以由其特征表中推导出来:
特征标表通常不会将群分至同构:例如,四元群Q和有8个元素的二面体群D4会有同样的特征标表。
一维表示的特征标会形成一个特征标群,其和数论中有著很重要的关连。
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