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数论（英语：Number theory）是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，被称为“最纯”的数学领域。
此条目的主题是数学领域中的数论。关于同名的古印度哲学流派，请见“数论 (印度哲学)”。
提示：此条目的主题不是数学。 |
数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。[1][注 1]
——卡尔·弗里德里希·高斯
正整数按乘法性质划分，可以分成质数，合数，1，质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想，孪生质数猜想等。即，很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数外，也研究一些由整数衍生的数（如有理数）或是一些广义的整数（如代数整数）。
整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
在中世纪早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的数学家斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
中世纪数论主要是指15-16世纪由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的数论。最早是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
皮埃尔·德·费马（1601–1665）没有著作出版，他在数论上的贡献几乎都在他写给其他数学家的信上，以及书旁的空白处[4]。费马的贡献几乎没有数论上的证明[5]，不过费马重复的使用数学归纳法，并引入无穷递降法。
费马最早的兴趣是在完全数及相亲数，因此开始研究整数因数，这也开始1636年之后的数学研究，也接触到当时的数学社群[6]。他已在1643年研读过巴歇版本的丢番图著作，他的兴趣开始转向丢番图方程和平方数的和[7]。
费马在数论上的贡献有：
- 费马小定理 (1640)[8]，若不是质数的倍数，则
- 若和互质，则无法被任何除4后同馀-1的质数整除[9]，而且每个除4后同馀1的质数都可以表示为.[10]，这二个是在1640年证明的，在1649年他在写给惠更斯的信上提到他用无穷递降法证明的第二个问题[11]，费马和福兰尼可在其他平方形式上也有一些贡献，不过其中有些错误及不严谨之处[12]。
- 向英国的数学家提出了求解的挑战（1657年），但在几个月后就由Wallis及Brouncker证明[13]。费马认为他们的证明有效，但用了一个在其中未经证明的演算法，费马自己是由无穷递降法找到证明。
- 发展许多找亏格0或1曲线上点的方法，作法类似丢番图，有许多特殊的步骤，使用了切线法构建曲线，而不是用割线法[14]。
- 证明不存在非寻常的正整数解。
费马在1637年声称（费马最后定理）证明了对于大于2的任意整数，不存在 的非寻常的正整数解（目前已知唯一的证明是由数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒于1994年完成的证明），但只在一本丢番图著作的旁边写到，而且他没有向别人宣称他已有了证明[15]。
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欧拉(1707–1783)对数论的兴趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引发，让他开始专注在费马的一些研究上[16][17]，在费马没有使当代的数学家注意此一主题后，欧拉的出现称为“现代数论的重生”[18]。欧拉数论的贡献包括以下几项[19]：
- 费马研究的证明，包括费马小定理（欧拉延伸到非质数的模数），以及若且唯若，这项研究可推导到所有整数都可以表示为四个平方数的证明（第一个完整证明是由约瑟夫·拉格朗日提出，费马很快的也提出证明），和没有非零整数解的证明，表示为费马最后定理时成立，欧拉用类似方式证明了的情形。
- 佩尔方程，最早误以为是欧拉证明[20]，欧拉也写了连分数和佩尔方程的关系[21]。
- 二次式，继费马之后，欧拉继续研究哪些质数可以表示为，其中有些显示二次互反律的性质[22] [23][24]。
- 丢番图方程：欧拉研究一些亏格为0或1的丢番图方程[25][26]，特别的是他研读丢番图的著作，试图要找到系统化的方法，但时机尚不成熟，几何数论才刚形成而已[27]。欧拉有注意到丢番图方程和椭圆积分之间的关系[27]。
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- 解析数论
- 借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题[28]，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论借由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
- 代数数论
- 引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间有相当关联，比如类域论（class field theory）就是此间的颠峰之作。
- 算术代数几何
- 研究有理系数多变数方程组的有理点，其结构（主要是个数）和该方程组对应的代数簇的几何性质之间的关系，有名的费马最后定理、莫德尔猜想（法尔廷斯定理）、Weil猜想，和千禧年大奖难题中的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想都属此类。
- 几何数论
- 主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。最著名的定理为闵可夫斯基定理。
- 计算数论
- 借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
- 超越数论
- 研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的黎曼ζ函数值之研究尤其令人感到兴趣。
- 组合数论
- 利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由保罗·埃尔德什开创的思路。
- 模形式
- 数学上一个满足一些泛函方程与增长条件、在上半平面上的（复）解析函数。
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