狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。
形象地说,在模同余类中,除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合,质数的分布是大致均匀的。
- 以为例:共有共个模同余集合,其中同余集合不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中:
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和。
- 以为例:共有共个模同余集合,其中同余集合不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中:
- 不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
欧拉曾以,来证明质数有无限个。约翰·彼得·狄利克雷得以灵感,借助证明来证明算术级数中有无限个质数。这个定理的证明中引入了狄利克雷L函数,应用了一些解析数学的技巧,是解析数论的重要里程碑。
这个定理的一些推广形式,但是都还只是未被证明的猜想而已,并不是定理。
- T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7